《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 求证：$ \frac{\tan(-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin(\pi-\alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos(-\frac{3\pi}{2}+\alpha)}=\tan\alpha. $

答案： 分析：利用诱导公式将等式左边的各项都化归为角$\alpha$的三角函数是证明等式成立的关键.证明：左边$ =\frac{-\tan\alpha\cos\alpha\sin\alpha}{\cos\alpha\cos(-\frac{3\pi}{2}+\alpha+2\pi)} $
$ =\frac{-\tan\alpha\cos\alpha\sin\alpha}{\cos\alpha\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)} $
$ =\frac{-\tan\alpha\cos\alpha\sin\alpha}{\cos\alpha(-\sin\alpha)} $
$ =\tan\alpha $
=右边.
所以$ \frac{\tan(-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin(\pi-\alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos(-\frac{3\pi}{2}+\alpha)}=\tan\alpha. $评析：遇到角$ \alpha\pm k·\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z}) $的三角函数，应灵活利用诱导公式将它们化归为角$\alpha$的三角函数，同时注意三角函数的名称和符号是否改变.

1. 对于$$ \alpha\in\mathbf{R} $$，下列等式中恒成立的是(C).

$A. \cos(-\alpha)=-\cos\alpha $
$B. \sin(-\alpha)=\sin\alpha $
$C. \sin(90^{\circ}+\alpha)=\cos\alpha $
$D. \cos(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha $

答案： 1.C

2. 已知$$ \cos(2\pi-\alpha)=-2\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha) $$，则$$ \tan\alpha $$的值为(B).

$A. -\frac{1}{2} $
$B. \frac{1}{2} $
C. -2
D. 2

答案： 2.B

3. 若$$ \sin(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\frac{3}{4} $$，则$$ \cos(\frac{\pi}{3}+\alpha) $$的值为$\frac{3}{4}$.

答案： 3.$\frac{3}{4}$
【解析】因为$(\frac{\pi}{6}-\alpha)+(\frac{\pi}{3}+\alpha)=\frac{\pi}{2}$，所以$\cos(\frac{\pi}{3}+$
$\alpha)=\sin(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\frac{3}{4}$。