《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 下列函数中，在区间 $ (0, 1) $ 上单调递增的是(C).

A.$ y = \frac{1}{x} $
B.$ y = 3 - x $
C.$ y = |x| $
D.$ y = -x^2 + 4 $

答案： 1.C
【解析】$y=\frac{1}{x}$为反比例函数，在区间$(0,1)$上单调递减；
$y=3-x$为一次函数，在区间$(0,1)$上单调递减；
$y=|x|$在区间$(0,1)$上单调递增；
$y=-x^{2}+4$为开口向下的二次函数，对称轴为$x=0$，
所以$y=-x^{2}+4$在区间$(0,1)$上单调递减.故选C.

2. 若函数 $ f(x) = x^2 + 2(a - 1)x + 2 $ 在区间 $ (-\infty, 4] $ 上单调递减，则实数 $ a $ 的取值范围是(A).

A.$ \{a | a \leq -3\} $
B.$ \{a | a \geq -3\} $
C.$ \{a | a \leq 5\} $
D.$ \{a | a \geq 3\} $

答案： 2.A
【解析】因为二次函数图象的对称轴为$x=-\frac{2(a-1)}{2}=-(a-1)=1-a$，抛物线开口向上，所以函数在区间$(-\infty,1-a]$上单调递减.
要使$f(x)$在区间$(-\infty,4]$上单调递减，则$1-a\geqslant4$，
解得$a\leqslant-3$.故选A.

3. 若 $ f(x) = \frac{ax + 1}{x + 2} $ 在区间 $ (-2, +\infty) $ 上单调递增，则 $ a $ 的取值范围是$(\frac{1}{2},+\infty)$.

答案： 3.$(\frac{1}{2},+\infty)$
【解析】$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}=\frac{a(x+2)+1-2a}{x+2}=\frac{1-2a}{x+2}+a$.
任取$x_1,x_2\in(-2,+\infty)$，且$x_1＜x_2$，
则$f(x_1)-f(x_2)=\frac{1-2a}{x_1+2}-\frac{1-2a}{x_2+2}=\frac{(1-2a)(x_2-x_1)}{(x_1+2)(x_2+2)}$.
因为函数$f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$在区间$(-2,+\infty)$上单调递增，
所以$f(x_1)-f(x_2)＜0$.
又因为$x_2-x_1＞0,x_1+2＞0,x_2+2＞0$，
所以$1-2a＜0$，所以$a＞\frac{1}{2}$，
所以$a$的取值范围是$(\frac{1}{2},+\infty)$.