《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知 $x$，$y$ 是两个不相等的正实数，求证：$x^{3} + y^{3} ＞ x^{2}y + xy^{2}$.
分析：因为 $x^{3} + y^{3} = (x^{2} - xy + y^{2}) \cdot (x + y)$，所以要证 $x^{3} + y^{3} ＞ x^{2}y + xy^{2}$，只需证 $(x^{2} - xy + y^{2})(x + y) ＞ xy(x + y)$. 因为 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，所以只需证 $x^{2} - xy + y^{2} ＞ xy$，即证 $(x - y)^{2} ＞ 0$.

答案： 证明：
作差得：
$(x^{3} + y^{3}) - (x^{2}y + xy^{2})$
$= x^{3} + y^{3} - x^{2}y - xy^{2}$
$= x^{2}(x - y) - y^{2}(x - y)$
$= (x^{2} - y^{2})(x - y)$
$ = (x - y)^{2}(x + y)$
由于 $x$ 和 $y$ 是两个不相等的正实数，所以 $(x - y)^{2} ＞ 0$ 且 $x + y ＞ 0$。
因此，$(x - y)^{2}(x + y) ＞ 0$。
所以，$x^{3} + y^{3} ＞ x^{2}y + xy^{2}$。

1. 如果 $a ＞ b ＞ 0$，那么下列不等式不成立的是(D).

A.$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$
B.$\frac{b}{a} ＜ \frac{a}{b}$
C.$ab ＜ a^{2}$
D.$ab^{2} ＞ a^{2}b$

答案： 1.D
【解析】因为a ＞ b ＞ 0，所以ab ＞ 0，a² ＞ b²，所以$\frac{a}{ab} ＞ \frac{b}{ab}，$$\frac{a²}{ab} ＞ \frac{b²}{ab}，$即$\frac{1}{b} ＞ \frac{1}{a}，$$\frac{a}{b} ＞ \frac{b}{a}，$所以选项A和选项B都成立；由a ＞ b，a ＞ 0得a² ＞ ab，选项C成立；由a ＞ b，ab ＞ 0得a²b ＞ ab²，选项D不成立.故选D.

2. 求当实数 $m$ 满足什么条件时，关于 $x$ 的不等式 $mx - 2 ＞ x - 3m$ 的解集为 $\{x | x ＜ \frac{2 - 3m}{m - 1}\}$.

答案： 2.由mx - 2 ＞ x - 3m得(m - 1)x ＞ 2 - 3m.
当m - 1 ＞ 0即m ＞ 1时，$x ＞ \frac{2 - 3m}{m - 1}；$
当m - 1 = 0即m = 1时，0 ＞ -1，x∈R；
当m - 1 ＜ 0即m ＜ 1时，$x ＜ \frac{2 - 3m}{m - 1}。$
综上可知，当实数m满足m ＜ 1时，关于x的不等式mx - 2 ＞ x - 3m的解集为${x|x ＜ \frac{2 - 3m}{m - 1}}。$