《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 设函数 $ f(x) = ka^x $（$ k \in \mathbf{R} $，且 $ k \neq 0 $；$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $），且 $ f(0) = 4 $，$ f(2) - f(1) = 8 $，求 $ f(3) $ 的值.
分析：要求 $ f(3) $ 的值，应当先求出函数 $ f(x) $ 的解析式，即求出 $ k $ 和 $ a $ 的值.

答案： 解：由 $ f(0) = ka^0 = k = 4 $，得 $ k = 4 $. 所以 $ f(x) = 4a^x $.
由 $ f(2) - f(1) = 4(a^2 - a) = 8 $，得 $ a^2 - a - 2 = 0 $，解得 $ a = -1 $，或 $ a = 2 $.
又因为 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，所以 $ a = 2 $，于是 $ f(x) = 4 × 2^x = 2^{x + 2} $.
所以 $ f(3) = 32 $.
评析：已知函数类型求函数值，常常需要利用题目条件确定函数的具体解析式，进而求函数值.

1. 函数 $ y = x^3 $，$ y = x^{-1} $，$ y = \pi^x $，$ y = \left( \dfrac{1}{5} \right)^x $ 中，指数函数的个数是(B).

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.B

2. 函数 $ y = 3^{\frac{1}{x - 4}} $ 的定义域是__________.

答案： $2.(-\infty,4)\cup(4,+\infty)$

3. 某企业员工年薪原来是 $ a $ 万元，在今后 $ m $ 年内，该企业员工的年薪平均每年比上一年增加 $ r\% $，则 $ x $ 年后的年薪 $ y $(单位：万元)随年数 $ x $ 变化的函数解析式是y=a(1+r\%)^{x}(0\leq x\leq m).

答案： $3.y=a(1+r\%)^{x}(0\leq x\leq m)$

已知函数 $ f(x) = x(a^x + ma^{-x}) $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）是偶函数，求实数 $ m $ 的值.

答案： 因为函数$f(x)=x(a^{x}+ma^{-x})$是偶函数(a＞0,且
$a\neq1),$所以f(-x)=f(x),即$-x(a^{-x}+ma^{x})=x(a^{x}+$
$ma^{-x}),$
整理得$x(1+m)(a^{x}+a^{-x})=0,$
所以m+1=0,所以m=-1.