《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 求不等式 $ x^{2}-3x + 1\geq 0 $ 的解集.
分析：先求出对应方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的根，再根据函数 $ y = x^{2}-3x + 1 $ 的图象得到不等式 $ x^{2}-3x + 1\geq 0 $ 的解集.

答案： 解：对于方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $，因为 $ \Delta＞0 $，所以它有两个不相等的实数根. 解得 $ x_{1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} $，$ x_{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2} $.
画出函数 $ y = x^{2}-3x + 1 $ 的图象（图 2.3 - 1），结合图象得不等式 $ x^{2}-3x + 1\geq 0 $ 的解集为 $ \{x|x\leq \frac{3-\sqrt{5}}{2} $，或 $ x\geq \frac{3+\sqrt{5}}{2}\} $.
评析：用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法，借助二次函数的图象求解一元二次不等式的解法，充分体现了“数形结合”的思想. 当一元二次不等式中的不等号为“$ \geq $”或“$ \leq $”时，要注意等号成立的条件.

1. 下列不等式中解集为 $ \mathbf{R} $ 的是(A).

A.$ x^{2}+1＞0 $
B.$ \sqrt{x^{2}}＞0 $
C.$ -x^{2}+1＜0 $
D.$ x^{2}-x + 1＜0 $

答案： 1.A
【解析】$x^{2} \geq 0$，故$x^{2}+1＞0$恒成立，选项A的解集为$\mathbf{R}$；
当$x=0$时，$\sqrt{x^{2}}＞0$不成立，选项B的解集不为$\mathbf{R}$；
当$x=0$时，$-x^{2}+1＜0$不成立，选项C的解集不为$\mathbf{R}$；
$x^{2}-x+1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}＞0$，选项D的解集不为
$\mathbf{R}$.故选A.

2. 不等式 $ -2x(x + 2)\geq 0 $ 的解集为$\{x\mid -2 \leq x \leq 0\}$.

答案： 2.$\{x\mid -2 \leq x \leq 0\}$
【解析】原不等式可化为$2x(x + 2) \leq 0$，所以$-2 \leqx \leq 0$，即不等式的解集为$\{x\mid -2 \leq x \leq 0\}$.

3. 求下列不等式的解集：
（1）$ x^{2}＞64 $；
（2）$ x^{2}-2x + 3＜0 $；
（3）$ -x^{2}-x + 12\leq 0 $；
（4）$ (x + 2)(1 - 2x)＜0 $；
（5）$ x^{2}-3x\geq 4 $；
（6）$ x^{2}-2\sqrt{3}x + 3＞0 $.

答案： 3.
(1)因为$x^{2}＞64$，所以$x＞8$或$x＜-8$，故不等式的解集为$\{x\mid x＜-8,或x＞8\}$；
(2)因为$x^{2}-2x + 3＜0$，即$(x - 1)^{2}+2＜0$，故不等式的解集为$\varnothing$；
(3)因为$-x^{2}-x + 12 \leq 0$，所以$x^{2}+x - 12 \geq 0$，即$(x - 3)(x + 4) \geq 0$，所以$x \geq 3$或$x \leq -4$，故不等式的解集为$\{x\mid x \leq -4,或x \geq 3\}$.
(4)因为$(x + 2)(1 - 2x)＜0$，所以$x＞\frac{1}{2}$或$x＜-2$，故不等式的解集为$\{x\mid x＜-2,或x＞\frac{1}{2}\}$；
(5)因为$x^{2}-3x \geq 4$，所以$x^{2}-3x - 4 \geq 0$，所以$x \geq 4$或$x \leq -1$，故不等式的解集为$\{x\mid x \leq -1,或x \geq 4\}$；
(6)因为$x^{2}-2\sqrt{3}x + 3＞0$，所以$(x - \sqrt{3})^{2}＞0$，即$x \neq\sqrt{3}$，故不等式的解集为$\{x\mid x＜\sqrt{3},或x＞\sqrt{3}\}$.