《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例(多项选择题)已知函数 $ f(x) = 1.5^{x} - x^{2} $，那么利用函数零点存在定理能够判断函数 $ f(x) $ 在区间()内至少有一个零点.

A.$ (-1,0) $
B.$ (0,1) $
C.$ (1,2) $
D.$ (2,3) $

答案： 分析：首先判断给定区间端点处的函数值是否异号，进而利用函数零点存在定理作出判断.
解：因为 $ f(-1)f(0) = -\frac{1}{3} ＜ 0 $，所以函数 $ f(x) = 1.5^{x} - x^{2} $ 在区间 $ (-1,0) $ 内至少有一个零点. 同理可得，函数 $ f(x) = 1.5^{x} - x^{2} $ 在区间 $ (1,2) $ 内至少有一个零点.
因为 $ f(0)f(1) = \frac{1}{2} ＞ 0 $，不满足函数零点存在定理的条件，所以利用函数零点存在定理不能判断函数 $ y = 1.5^{x} - x^{2} $ 在区间 $ (0,1) $ 内是否有零点. 同理可得，利用函数零点存在定理不能判断函数 $ y = 1.5^{x} - x^{2} $ 在区间 $ (2,3) $ 内是否有零点.
故选 A 和 C.

1. 函数 $ f(x) = e^{x} + x - 2 $ 的零点所在的一个区间是(C).

A.$ (-2,-1) $
B.$ (-1,0) $
C.$ (0,1) $
D.$ (1,2) $

答案： 1.C
【解析】因为$ f(-2)=e^{-2}-2-2=\frac{1}{e^{2}}-4＜0，$
$f(-1)=e^{-1}-1-2=\frac{1}{e}-3＜0，$
$f(0)=e^{0}+0-2=-1＜0，$
f
(1)=e+1-2=e-1＞0,所以 f
(0)f
(1)＜0.
所以函数$ f(x)=e^{x}+x-2 $的零点所在的一个区间是
(0,1).

2. 函数 $ f(x) = 2^{x} + x^{3} - 2 $ 在区间 $ (0,1) $ 上的零点个数是(B).

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 2.B
【解析】函数 f(x)在区间(0,1)上为增函数，
$f(0)=2^{0}+0^{3}-2=-1$＜0,f
(1)=2^{1}+1^{3}-2=1＞0，
则在区间(0,1)内函数存在唯一的零点，
即$ f(x)=2^{x}+x^{3}-2 $在区间(0,1)内的零点个数是1.

3. 函数 $ f(x) = 2^{x} - 1 $ 的零点是x=0.

答案： 3.x=0

4. 已知函数 $ f(x) = 3^{x} - \frac{1}{x} - a $ 的一个零点在区间 $ (2,3) $ 内，则实数 $ a $ 的取值范围是(\frac{17}{2},\frac{80}{3}).

答案： $4.(\frac{17}{2},\frac{80}{3})$
【解析】由题意可知，函数$ f(x)=3^{x}-\frac{1}{x}-a $在区间
(2,3)上单调递增，所以 f
(2)·f
(3)＜0,即
$(3^{2}-\frac{1}{2}-a)·(3^{3}-\frac{1}{3}-a)＜0，$
解得$ a\in(\frac{17}{2},\frac{80}{3}).$

1. 借助信息技术画出函数 $ y = \ln x $ 和 $ y = x|x - a| $($ a $ 为实数)的图象，当 $ a = 1.5 $ 时的图象如图所示，则函数 $ y = x|x - 1.5| - \ln x $ 的零点个数为(B).

A.3
B.2
C.1
D.0

答案： 1.B
【解析】函数 y=x|x-1.5|$-\ln x $的零点个数是方程
x|x-1.5|$-\ln x=0,$即 x|x-1.5|$=\ln x $解的个数，也是
y=x|x-1.5|与$ y=\ln x $的图象交点的个数.结合图象可
知y=x|x-1.5|与$ y=\ln x $的图象有2个交点，所以函数
y=x|x-1.5|$-\ln x $有2个零点.