《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 下列各题中，$ p $ 是 $ q $ 的什么条件？
(1) 已知集合 $ M $，$ N $ 满足 $ M \neq N $，且 $ M \cap N \neq \varnothing $. $ p $：$ x \in M \cap N $，$ q $：$ x \in M \cup N $.
(2) $ p $：四边形 $ ABCD $ 的对角线相等，$ q $：四边形 $ ABCD $ 是正方形.
(3) $ p $：$ a ＞ b $，$ q $：$ a^2 ＞ b^2 $.

答案：
(1) $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
(2) $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。
(3) $p$ 既不是 $q$ 的充分条件也不是 $q$ 的必要条件。

1. “$ |x| ＞ 0 $”是“$ x ＞ 0 $”的(A).

A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.既不充分也不必要条件

答案： 1.A
【解析】$|x| ＞ 0 \Rightarrow x ＜ 0$或$x ＞ 0$，即$|x| ＞ 0 \Rightarrow x ＞ 0$，反之，$x ＞ 0 \Rightarrow |x| ＞ 0$，所以“$|x| ＞ 0$”是“$x ＞ 0$”的必要不充分条件.故选A.

2. 已知 $ p $：两个三角形全等，$ q $：两个三角形对应角相等，则 $ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件.

答案： 2.充分不必要
【解析】根据三角形的性质可知$p \Rightarrow q$，根据三角形全等的判定方法可知$q \Rightarrow p$，所以$p$是$q$的充分不必要条件.

3. 判断下列各项中，$ p $ 是否是 $ q $ 的必要条件，并说明原因.
(1) $ p $：数 $ a $ 能被 $ 6 $ 整除，$ q $：数 $ a $ 能被 $ 3 $ 整除；
(2) $ p $：$ x ＞ 1 $，$ q $：$ x ＞ 1 $ 或 $ x ＜ -1 $；
(3) $ p $：$ \triangle ABC $ 有两个角相等，$ q $：$ \triangle ABC $ 是正三角形.

答案： 3.
(1)数$a$能被3整除时，不一定能被6整除，即$q \Rightarrow p$，所以$p$不是$q$的必要条件.
(2)因为$x ＞ 1$或$x ＜ -1 \Rightarrow x ＞ 1$，所以$q \Rightarrow p$，所以$p$不是$q$的必要条件.
(3)因为正三角形三个角都相等，故当$\triangle ABC$为正三角形时，必有两个角相等，即$q \Rightarrow p$，所以$p$是$q$的必要条件.

1. 设 $ A $，$ B $ 是非空集合，则“$ A \cap B = A $”是“$ A = B $”的必要条件.(填“充分”或“必要”)

答案： 1.必要
【解析】因为$A = B \Rightarrow A \cap B = A$，$A \cap B = A \Rightarrow A = B$，所以“$A \cap B = A$”是“$A = B$”的必要条件.

2. 已知 $ p $：$ -1 ＜ x ＜ 3 $，若 $ -a ＜ x - 1 ＜ a $ 是 $ p $ 的一个必要条件，求使 $ a ＞ b $ 恒成立的实数 $ b $ 的取值范围.

答案： 2.因为$-a ＜ x - 1 ＜ a$，所以$1 - a ＜ x ＜ 1 + a$.
结合已知可得$\{x \mid -1 ＜ x ＜ 3\} \subseteq \{x \mid 1 - a ＜ x ＜ 1 + a\}$，
所以$\begin{cases}1 - a \leq -1,\\1 + a \geq 3,\end{cases}$解得$a \geq 2$，则使$a ＞ b$恒成立的实数$b$的取值范围是$\{b \mid b ＜ 2\}$.
方法总结：
已知充分条件、必要条件求参数
取值范围的解题策略
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解.