《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 $ 20 $ 年的隔热层，按已确定的建造面积计算每厘米厚的隔热层建造成本为 $ 6 $ 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 $ C $（单位：万元）与隔热层厚度 $ x $（单位：$ cm $）满足关系：$ C(x) = \frac{k}{3x + 5} $（$ 0 \leq x \leq 10 $）. 若不建造隔热层，每年能源消耗费用为 $ 8 $ 万元. 设 $ f(x) $ 为隔热层建造费用与 $ 20 $ 年的能源消耗费用之和.
（1）求 $ k $ 的值及 $ f(x) $ 的解析式；
（2）求隔热层建造多厚时，总费用 $ f(x) $ 达到最小，并求最小值.

答案： 分析：根据已知条件确定函数模型 $ C(x) $ 中的参数，再利用函数和不等式的知识解决数学问题，进而解决实际问题.
解：（1）由题意，得 $ C(0) = 8 $，即 $ \frac{k}{3 × 0 + 5} = 8 $，
解得 $ k = 40 $，
因此 $ C(x) $ 的解析式为 $ C(x) = \frac{40}{3x + 5} $.
因为建造费用为 $ C_{1}(x) = 6x $，所以隔热层建造费用与 $ 20 $ 年的能源消耗费用之和为
$ f(x) = 20C(x) + C_{1}(x) = \frac{800}{3x + 5} + 6x $（$ 0 \leq x \leq 10 $）.
（2）因为 $ 0 \leq x \leq 10 $，所以 $ 3x + 5 ＞ 0 $.
因此
$ f(x) = \frac{800}{3x + 5} + 6x = \frac{800}{3x + 5} + 2(3x + 5) - 10 \geq 2\sqrt{\frac{800}{3x + 5} × 2(3x + 5)} - 10 = 70 $，
当且仅当 $ \frac{800}{3x + 5} = 2(3x + 5) $，即 $ x = 5 $ 时，等号成立.
所以，当隔热层修建 $ 5 \ cm $ 厚时，总费用达到最小值 $ 70 $ 万元.
评析：对于实际问题，先建立或确定它的函数模型，然后解决数学问题，进而解决实际问题，这是利用函数的方法解决一些简单实际问题的基本方法. 本例中的函数模型是题目条件中给出的，可以根据实际数据，确定模型中的参数. 在实际问题中，有些函数模型需要根据实际问题的背景确定；有些需要利用已知数据，通过数据的拟合得到近似的函数模型，这些问题在后续的学习中还会逐步接触.