《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{2} - 2x + 1 ＜ 0$；
（2）$\forall x \in \mathbf{R}$，$x^{3} + 1 \neq 0$；
（3）有的实数的绝对值是正数.

答案： 答题卡：
（1）命题的否定：$\forall x \in \mathbf{R}$，$x^{2} - 2x + 1 \geq 0$。
真值判断：因为$x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2} \geq 0$对任意$x \in \mathbf{R}$成立，命题为真。
（2）命题的否定：$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{3} + 1 = 0$。
真值判断：当$x = -1$时，$x^{3} + 1 = 0$成立，命题为真。
（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数。
真值判断：当$x \neq 0$时，$|x| ＞ 0$，因此命题为假。

1. 命题“$\exists x \in \mathbf{R}$，$x - 7 \leq 0$”的否定是(D).

A.不存在$x \in \mathbf{R}$，$x - 7 ＞ 0$
B.$\exists x \in \mathbf{R}$，$x - 7 \geq 0$
C.$\forall x \in \mathbf{R}$，$x - 7 \leq 0$
D.$\forall x \in \mathbf{R}$，$x - 7 ＞ 0$

答案： 1.D

2. 命题“所有能被$3$整除的整数都是奇数”的否定是存在一个能被3整除的整数不是奇数.

答案： 2.存在一个能被3整除的整数不是奇数

3. 命题“存在一个三角形不是轴对称图形”的否定是所有三角形都是轴对称图形.

答案： 3.所有三角形都是轴对称图形

4. 写出命题“$\forall x \in \mathbf{R}$，$|x - 2| + |x - 4| ＞ 3$”的否定，并判断真假.

答案： $4.“\forall x\in \mathbf{R},$|x - 2|+|x - 4|＞3”的否定是$“\exists x\in \mathbf{R},$
|x - 2|+|x - 4|$\leqslant 3”.$当x=3时，|x - 2|+|x - 4|=2＜
3，故原命题的否定是真命题.

1. 命题“$\forall x \in \mathbf{R}$，$x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$”的否定是(C).

A.不存在$x \in \mathbf{R}$，$x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$
B.$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$
C.$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{3} - x^{2} + 1 ＞ 0$
D.$\forall x \in \mathbf{R}$，$x^{3} - x^{2} + 1 ＞ 0$

答案： 1.C

2. 命题“$\exists x \in \mathbf{R}$，$x^{2} + 2x + 5 = 0$”的否定是\forall x\in \mathbf{R},x^2+2x+5\neq 0.

答案： $2.\forall x\in \mathbf{R},x^2+2x+5\neq 0$