《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

6. 已知函数 $ f(x) = 2x^3 + ax^2 - bx $ 是奇函数，且 $ f(2) = 8 $，$ g(x) = x^2 + bx - 5 $.
（1）求 $ g(x) $ 的单调区间；
（2）若 $ g(t) $ 是 $ g(x) $ 的最小值，求 $ f(t) $ 的值.

答案： 6.
(1)因为函数$f(x)=2x^{3}+ax^{2}-bx$是奇函数，所以
$a=0$.由$f(2)=16-2b=8$，得$b=4$.所以$f(x)=2x^{3}-4x$，
$g(x)=x^{2}+4x-5=(x+2)^{2}-9$.故$g(x)$在区间$(-\infty,-2]$上单调递减，在区间$(-2,+\infty)$上单调递增.
(2)$g(x)$的最小值为$g(-2)=-9$，所以$t=-2$,故
$f(t)=f(-2)=-f(2)=-8$.

1. 已知 $ f(x) = ax^3 + bx - 4 $，其中 $ a, b $ 为常数. 若 $ f(-2) = 2 $，则 $ f(2) $ 的值等于-10.

答案： 1.-10
【解析】令$F(x)=f(x)+4=ax^{3}+bx$，则$F(x)$为奇
函数，且$F(-2)=f(-2)+4=6$，所以$F(2)=f(2)+4=-6$，即$f(2)=-10$.

2. 已知函数 $ f(x) = \frac{ax + b}{1 + x^2} $ 是定义域为 $ (-1, 1) $ 的奇函数，且 $ f(\frac{1}{2}) = \frac{2}{5} $.
（1）确定函数 $ f(x) $ 的解析式；
（2）根据定义证明 $ f(x) $ 是增函数；
（3）解不等式 $ f(t - 1) + f(t) ＜ 0 $.

答案： 2.
(1)因为函数$f(x)=\frac{ax+b}{1+x^{2}}$是定义域为$(-1,1)$的
奇函数，所以$f(0)=0$，即$b=0$.
又因为$f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}a+b}{1+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\frac{1}{2}a}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}$，
所以$a=1$.
故$f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$.
(2)任取$-1＜x_1＜x_2＜1$，则$f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1}{1+x_1^{2}}-\frac{x_2}{1+x_2^{2}}=\frac{(x_1-x_2)(1-x_1x_2)}{(1+x_1^{2})(1+x_2^{2})}$.由$-1＜x_1＜x_2＜1$，得$x_1-x_2＜0$，$1+x_1^{2}＞0$，$1+x_2^{2}＞0$，$1-x_1x_2＞0$，于是$f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$.所以$f(x)$是增函数.
(3)因为$f(x)$是定义在$(-1,1)$上的奇函数，所以
$f(-t)=-f(t)$，故$f(t-1)+f(t)＜0$可化为$f(t-1)＜-f(t)=f(-t)$.又因为$f(x)$是增函数，所以$-1＜t-1＜-t＜1$，解得$0＜t＜\frac{1}{2}$.所以$f(t-1)+f(t)＜0$的解集为
$(0,\frac{1}{2})$.