《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 已知扇形面积计算公式为 $ S = \frac{1}{2}lR $($ l $ 为弧长，$ R $ 为扇形半径)，则面积为 $ 25 $ 的扇形，其周长 $ l + 2R $ 的最小值为(A)。

A.$ 20 $
B.$ 10\sqrt{2} $
C.$ 10 $
D.$ 5 $

答案： 1.A
【解析】因为扇形面积为25，
所以$S=\frac{1}{2}lR=25，$即lR=50，
所以$l+2R\geqslant2\sqrt{l\cdot2R}=2×\sqrt{100}=20，$当且仅当l=2R，即R=5时，等号成立.
故l+2R的最小值为20.

2. 周长为 $ 12 $ 的长方形，其面积的最大值为9。

答案： 2.9
【解析】设此长方形的长和宽分别为x和y，且x,y＞0，则它的周长为2(x+y)=12，即x+y=6.
又因为长方形的面积为xy，
所以由基本不等式得$\sqrt{xy}\leqslant\frac{x+y}{2}，$
所以$xy\leqslant(\frac{x+y}{2})^{2}=3^{2}=9，$当且仅当x=y=3时，等号成立.
故此长方形面积的最大值为9.

3. 用一段长为 $ 10 $ 的铁丝围成一个直角三角形。当三角形的三边长分别为多少时，围成的三角形面积最大？最大值是多少？

答案： 3.当三角形三边长分别为$10-5\sqrt{2},10-5\sqrt{2},10\sqrt{2}-10$时，围成的三角形面积最大，最大面积为$25(3-2\sqrt{2}).$

4. 某工厂在月产量 $ 10 \ t $ 至 $ 25 \ t $ 时，月生产总成本 $ y $（单位：万元）与月产量 $ x $（单位：$ t $）之间存在函数关系 $ y = \frac{1}{10}(x - 15)^{2} + 17.5 $。当月产量为多少吨时，平均每吨成本最低？最低成本是多少万元？

答案： $4.\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{10}x^{2}-3x+40}{x}=\frac{1}{10}x+\frac{40}{x}-3\geqslant2\sqrt{\frac{x}{10}\cdot\frac{40}{x}}-3=1.$当且仅当$\frac{x}{10}=\frac{40}{x}，$即$x=20\in\{x\mid10\leqslant x\leqslant25\}$时，等号成立.故当月产量为20t时，平均每吨成本最低，最低成本为1万元.

1. 设 $ a $，$ b ＞ 0 $，$ a + b = 1 $，则 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - 2 $ 的最小值为2。

答案： 1.2
【解析】因为a,b＞0,a+b=1，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)-2=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant2，$
当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}，$即$a=b=\frac{1}{2}$时，等号成立.
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2$的最小值为2.

2. 公司的某商品原来每件定价为 $ 30 $ 元，今年的销售量为 $ 10 $ 万件。若公司预备明年将该商品的价格提高到 $ x $ 元，并计划投入 $ \frac{1}{5}(x^{2} - 500) $ 万元进行技术改造，投入 $ 45 $ 万元作为固定宣传费用。求该商品明年的销售量 $ a $（单位：万件）至少达到多少时，才可能使明年的销售收入不低于今年的销售收入与提价后的总投入之和，并求出此时每件商品的定价。

答案： 2.当x＞30时，令$ax\geqslant30×10+45+\frac{1}{5}(x^{2}-500)，$
得$a\geqslant\frac{245}{x}+\frac{x}{5}\geqslant2\sqrt{49}=14，$当且仅当$\frac{245}{x}=\frac{x}{5}，$即x=35时，等号成立.所以，当该商品明年的销售量a至少达到14万件时，才可能使明年的销售收入不低于今年的销售收入与提价后的总投入之和，此时每件商品的定价为35元.