《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知函数 $ y = \frac{\sqrt{1 - x}}{2x^2 - 3x - 2} $，
（1）求函数的定义域；
（2）求 $ f(0) $，$ f(-1) $ 的值；
（3）当 $ t ＞ 2 $ 时，求 $ f(1 - t) $ 的值.

答案： （1）要使函数有意义，需满足：
$\begin{cases}1 - x \geq 0 \\2x^2 - 3x - 2 \neq 0\end{cases}$
解 $1 - x \geq 0$ 得 $x \leq 1$；解 $2x^2 - 3x - 2 \neq 0$，即 $(2x + 1)(x - 2) \neq 0$，得 $x \neq -\frac{1}{2}$ 且 $x \neq 2$。
综上，函数的定义域是 $(-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 1]$。
（2）$f(0) = \frac{\sqrt{1 - 0}}{2 × 0^2 - 3 × 0 - 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$；
$f(-1) = \frac{\sqrt{1 - (-1)}}{2 × (-1)^2 - 3 × (-1) - 2} = \frac{\sqrt{2}}{2 + 3 - 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$。
（3）当 $t ＞ 2$ 时，$1 - t ＜ -1$，则：
$\begin{aligned}f(1 - t) &= \frac{\sqrt{1 - (1 - t)}}{2(1 - t)^2 - 3(1 - t) - 2} \\&= \frac{\sqrt{t}}{2(1 - 2t + t^2) - 3 + 3t - 2} \\&= \frac{\sqrt{t}}{2 - 4t + 2t^2 - 3 + 3t - 2} \\&= \frac{\sqrt{t}}{2t^2 - t - 3}\end{aligned}$