《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 有一块形状为直角三角形的铁板，它的两条直角边 $ AC $ 和 $ BC $ 的长度分别为 $ 40\ cm $ 和 $ 60\ cm $. 如图 2.3 - 2，以此三角形的直角为矩形的一个角，剪一个面积不小于 $ 450\ cm^{2} $ 的矩形，求 $ CD $ 的长的最大值，此时 $ CF $ 的长是多少？
分析：设 $ CD = x\ cm $，$ CF = y\ cm $，由几何图形的性质，可以找到矩形的两边 $ x $，$ y $ 之间的关系，并用 $ S $ 表示矩形面积，进而利用 $ S\geq 450 $ 建立关于 $ x $ 的不等关系解决问题.

答案： 解：设 $ CD = x\ cm $，$ CF = y\ cm $，矩形的面积为 $ S\ cm^{2} $. 因为 $ \triangle AFE\sim \triangle ACB $，所以 $ \frac{FE}{CB}=\frac{AF}{AC} $，即 $ \frac{x}{60}=\frac{40 - y}{40} $，解得 $ y = 40-\frac{2}{3}x $. 因此
$\begin{aligned}S&=xy=x(40-\frac{2}{3}x)\\&=-\frac{2}{3}x^{2}+40x\quad (0＜x＜60).\end{aligned}$
根据题意，得
$-\frac{2}{3}x^{2}+40x\geq 450,$
解得
$15\leq x\leq 45.$
因为 $ 0＜x＜60 $，所以 $ CD $ 的最大值是 $ 45\ cm $，此时 $ CF = 40-\frac{2}{3}× 45 = 10\ (cm) $.
评析：解决有关一元二次不等式的应用问题时，要注意准确理解题意，先将实际问题抽象转化为一元二次不等式问题，再利用一元二次不等式的知识求解，进而解决实际问题.

1. 某一物体一天中的温度 $ T $(单位：$ ^{\circ}C $)与加热时间 $ t $(单位：$ h $)之间存在函数关系 $ T = t^{2}+t + 20 $($ t\geq 0 $). 若使该物体的温度不超过 $ 32\ ^{\circ}C $，则加热时间最多为(B).

A.$ 4\ h $
B.$ 3\ h $
C.$ 2\ h $
D.$ 1\ h $

答案： 1.B
【解析】由题意可得$t^{2}+t + 20 \leq 32$，即$t^{2}+t - 12 \leq 0$，
所以$(t + 4)(t - 3) \leq 0$，解得$-4 \leq t \leq 3$.
又因为$t \geq 0$，所以$0 \leq t \leq 3$.故选B.

2. 某商家投产一种新型电子产品，在试销过程中发现，每月的利润 $ y $（单位：万元）与销售单价 $ x $（单位：元）之间存在函数关系 $ y = -2x^{2}+136x - 1800 $. 根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于 $ 32 $ 元. 如果商家要获得每月不低于 $ 350 $ 万元的利润，那么这种产品的销售单价应至少定为多少元？

答案： 2.由题意可得$-2x^{2}+136x - 1800 \geq 350(0＜x \leq 32)$，
即$x^{2}-68x + 1075 \leq 0$，即$(x - 43)(x - 25) \leq 0$，
解得$25 \leq x \leq 43$.
又因为$0＜x \leq 32$，
所以$25 \leq x \leq 32$.
所以这种产品的销售单价应至少定为25元，才能使商家获得每月不低于350万元的利润.