《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 下列各题中，哪些 $ p $ 是 $ q $ 的充要条件？
(1) $ p $：$ x ＞ 1 $，$ q $：$ \frac{1}{x} ＜ 1 $；
(2) $ p $：$ A = 60^{\circ} $，$ q $：$ \triangle ABC $ 是等边三角形；
(3) $ p $：$ A \cap B = A $，$ q $：$ A \subseteq B $.

答案：
(1)
由 $x ＞ 1$，可得 $\frac{1}{x} ＜ 1$，即 $p \Rightarrow q$；
由 $\frac{1}{x} ＜ 1$，取 $x = -1$，此时 $x ＞ 1$ 不成立，即 $q \nRightarrow p$；
因此，$p$ 不是 $q$ 的充要条件。
(2)
由 $A = 60^{\circ}$，不能得出 $\triangle ABC$ 是等边三角形，即 $p \nRightarrow q$；
因此，$p$ 不是 $q$ 的充要条件。
(3)
由 $A \cap B = A$，可得 $A \subseteq B$，即 $p \Rightarrow q$；
由 $A \subseteq B$，可得 $A \cap B = A$，即 $q \Rightarrow p$；
因此，$p$ 是 $q$ 的充要条件。
综上，
(1)
(2)中$p$不是$q$的充要条件，
(3)中$p$是$q$的充要条件。