《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 某同学家距学校 $ 6 km $，他从家出发去学校，开始时匀速步行了 $ 12 min $，来到距离家 $ 1.2 km $ 的共享单车存放地，花了 $ 3 min $ 扫码取车，然后又匀速骑行了 $ 15 min $ 到达学校. 在这个过程中，这位同学行进的速度 $ v $（单位：$ km/h $）和路程 $ s $（单位：$ km $）都是关于时间 $ t $（单位：$ h $）的函数，分别写出 $ v $ 和 $ s $ 关于 $ t $ 的函数解析式，并画出它们的函数图象.
分析：这位同学在去学校的途中有三种不同的运动状态，因此 $ v $ 和 $ s $ 关于 $ t $ 的函数均需要分段表述.

答案：
解：由题意该同学步行的速度为 $ \frac{1.2}{0.2} = 6 km/h $，骑行的速度为 $ \frac{6 - 1.2}{0.25} = 19.2 km/h $，所以速度 $ v $ 和路程 $ s $ 关于时间 $ t $ 的函数解析式分别为
$v = \begin{cases}6, & 0 \leq t \leq 0.2, \\0, & 0.2 ＜ t ＜ 0.25, \\19.2, & 0.25 \leq t \leq 0.5,\end{cases}$
$s = \begin{cases}6t, & 0 \leq t \leq 0.2, \\1.2, & 0.2 ＜ t \leq 0.25, \\19.2t - 3.6, & 0.25 ＜ t \leq 0.5.\end{cases}$
它们的函数图象分别如图 3.1 - 2、图 3.1 - 3 所示.
评析：在解决分段函数问题时，要紧扣分段函数的特征，根据题意先将自变量的取值范围进行恰当的分段，再写出各段上对应的函数解析式. 需要注意的是，分段函数是一个函数，而不是几个函数，要作为一个整体把握；分段函数的定义域是自变量在各段取值集合的并集，表示定义域时要不重复不遗漏，特别要注意端点的情况；函数定义域常受实际问题的制约，要符合实际问题的意义.