《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 借助信息技术，用二分法求函数 $ f(x) = 2^{x - 2} - x $ 在区间 $ (0,2) $ 内的零点的近似值（精确度为 $ 0.01 $）.

答案：
分析：按照二分法求函数零点的近似值的一般步骤进行即可.
解：取区间 $ (0,2) $ 的中点 $ 1 $，用信息技术算得 $ f(1) = -0.5 $. 因为 $ f(0)f(1) ＜ 0 $，所以零点在区间 $ (0,1) $ 内.
再取区间 $ (0,1) $ 的中点 $ 0.5 $，用信息技术算得 $ f(0.5) \approx -0.146 $. 因为 $ f(0)f(0.5) ＜ 0 $，所以零点在区间 $ (0,0.5) $ 内.
因为 $ (0,2) \supsetneqq (0,1) \supsetneqq (0,0.5) $，所以零点所在的范围变小了. 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（见表 4.5 - 1）. 这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足精确度为 $ 0.01 $ 的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值. 为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.

1. 某同学在求曲线 $ y = \ln x $ 和 $ y = \frac{1}{2^{x}} $ 的交点的横坐标时，计算出了下表所给的函数值，则交点的横坐标属于区间(C).


A.$ (1,1.125) $
B.$ (1.25,1.375) $
C.$ (1.375,1.5) $
D.$ (1.5,1.625) $

答案： 1.C
【解析】令$ f(x)=\ln x-\frac{1}{2^{x}},x＞0，$则 f(x)单调递增
且连续，
因为 f(1.375)=0.318-0.386=-0.068＜0,f(1.5)=
0.405-0.354=0.051＞0，故 f(x)存在唯一的零点，且在区
间(1.375,1.5)内.