《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 要用竹片制作如图 2.2 - 1 所示的相片框架，相片框架由一个边长为 $ a \ cm $ 的等边三角形和一个面积为 $ 300 \ cm^{2} $ 的矩形组成。当 $ a $ 为多少时，制作相片框架所用的材料最省？此时竹片总长度是多少？（精确到 $ 1 \ cm $）
分析：由矩形面积为 $ 300 \ cm^{2} $，可将问题转化为已知矩形的邻边之积为定值，求 $ a $ 为多少时周长最短。

答案： 解：设矩形的另一边长为 $ b \ cm $，竹片总长为 $ l \ cm $。
由已知得 $ ab = 300 $，即 $ b = \frac{300}{a} $，所以
$l = 2a + 2b + 2a = 4a + \frac{600}{a} \geq 40\sqrt{6} \approx 98 \ (cm)$
当且仅当 $ 4a = \frac{600}{a} $，即 $ a = 5\sqrt{6} \ cm \approx 12 \ cm $ 时，上式等号成立。
因此，当 $ a \approx 12 \ cm $ 时，制作相片框架所用的材料最省，此时竹片总长度约是 $ 98 \ cm $。
评析：解决有关最大（小）值的实际问题时，要根据实际问题抽象出数学“模型”。本例的数学“模型”属于“$ y = mx + \frac{n}{x} $（$ m $，$ n $ 为正常数）”型，直接利用基本不等式即可求得其最小值。
变式：要用长度为 $ 40 \ cm $ 的竹片制作如图 2.2 - 1 所示的相片框架，相片框架由一个边长为 $ a \ cm $ 的等边三角形和一个矩形构成。当 $ a $ 为多少时，制作出的矩形面积最大？最大面积是多少？
提示与答案：设矩形的另一边长为 $ b \ cm $，矩形的面积为 $ S \ cm^{2} $。根据题意，有 $ 4a + 2b = 40 $。由 $ \sqrt{8ab} \leq \frac{4a + 2b}{2} = 20 $，得 $ S = ab \leq 50 $，当且仅当 $ 4a = 2b = 20 $，即 $ a = 5 \ cm $，$ b = 10 \ cm $ 时，等号成立。因此当 $ a = 5 \ cm $ 时，制作出的矩形面积最大，最大面积为 $ 50 \ cm^{2} $。