《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 已知函数
$f(x) = \begin{cases}|x - 1| - 2, & |x| \leq 1, \frac{1}{1 + x^2}, & |x| ＞ 1,\end{cases}$
则 $ f\left( f\left( \frac{1}{2} \right) \right) $ 的值为4/13.

答案： 1.$\frac{4}{13}$

2. 设函数 $ f(x) = 2x^2 + (x - a)|x - a| $，
（1）若 $ a = 4 $，求函数 $ f(x) $ 的解析式；
（2）若 $ f(0) \geq 1 $，求 $ a $ 的取值范围；
（3）设函数 $ h(x) = f(x) $，$ x \in (a,+\infty) $，求不等式 $ h(x) \geq 4 $ 的解集.

答案： 2.
(1)当$a = 4$时，$f(x)=\begin{cases}3x^2 - 8x + 16,&x\geq4,\\x^2 + 8x - 16,&x＜4.\end{cases}$
(2)若$f(0)\geq1$，则$f(0)= - a\vert a\vert\geq1$，于是$a＜0$，且$a^2\geq1$，所以$a\leq - 1$.
(3)当$a\in(-\infty,-\sqrt{6}]\cup[\sqrt{2},+\infty)$时，不等式$h(x)\geq4$的解集为$(a,+\infty)$；当$a\in(-\sqrt{6},-\sqrt{2})$时，不等式$h(x)\geq4$的解集为$\left(a,\frac{a - \sqrt{12 - 2a^2}}{3}\right]\cup\left[\frac{a + \sqrt{12 - 2a^2}}{3},+\infty\right)$；
当$a\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$时，不等式$h(x)\geq4$的解集为$\left[\frac{a + \sqrt{12 - 2a^2}}{3},+\infty\right)$.