《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 求函数 $ y = \frac{1}{3}\cos(2x + \frac{\pi}{6}) $ 的周期.

答案： 分析：解本题的关键是利用周期的定义，从余弦函数 $ y = \cos x $ 的周期出发，通过代数变形得出 $ \cos[2(x + T) + \frac{\pi}{6}] = \cos(2x + \frac{\pi}{6}) $，$ x \in \mathbf{R} $.
解：令 $ z = 2x + \frac{\pi}{6} $，由 $ x \in \mathbf{R} $，得 $ z \in \mathbf{R} $，且 $ y = \frac{1}{3}\cos z $ 的周期为 $ 2\pi $，即 $ \frac{1}{3}\cos(z + 2\pi) = \frac{1}{3}\cos z $，
于是 $ \frac{1}{3}\cos[(2x + \frac{\pi}{6}) + 2\pi] = \frac{1}{3}\cos(2x + \frac{\pi}{6}) $，
所以 $ \frac{1}{3}\cos[2(x + \pi) + \frac{\pi}{6}] = \frac{1}{3}\cos(2x + \frac{\pi}{6}) $.
由周期函数的定义可知所求函数的周期为 $ \pi $.
评析：求三角函数的周期通常可以利用三角函数 $ y = \sin x $，$ y = \cos x $，$ y = \tan x $ 的周期性，通过代数变形，得出等式 $ f(x + T) = f(x) $，进而求出周期.