《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 如图，点$P$在边长为$1$的正方形$ABCD$的边上沿着$B→C→D→A$运动. 设点$P$经过的路程为$x$，$\triangle ABP$的面积为$y$，则$y$关于$x$的函数的图象形状大致是(A).

答案： 1.A
[解析]因为点P经过的路程为x，
所以当点P在BC上由B→C运动时,$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}|AB|x = \frac{1}{2}x$;
当点P在CD上由C→D运动时,$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}|AB| × 1 = \frac{1}{2}$;
当点P在DA上由D→A运动时,$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2}|AB| × (3 - x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x$.
所以y关于x的函数的图象形状大致是A.

2. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗$1\mathrm{L}$汽油行驶的里程，甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况如图所示. 下列叙述中正确的是(D).

A.消耗$1\mathrm{L}$汽油，乙车最多可行驶$5\mathrm{km}$
B.以相同的速度行驶相同的路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C.甲车以$80\mathrm{km}/\mathrm{h}$的速度行驶$1\mathrm{h}$，消耗$10\mathrm{L}$汽油
D.某城市机动车最高限速$80\mathrm{km}/\mathrm{h}$，相同条件下，在该城市用丙车比乙车更省油

答案： 2.D
[解析]当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1L汽油行驶的里程都超过了5km，选项A错误;
以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，选项B错误;
甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1h消耗约8L汽油，选项C错误;
因为某城市机动车最高限速80km/h，所以相同条件下，在该城市用丙车比乙车更省油，选项D正确.
故选D.

3. 甲同学从家出发步行去乙同学家，途中经过一个公园时休息了$10\mathrm{min}$. 甲走过的路程$y$(单位：$\mathrm{km}$)随时间$x$(单位：$\mathrm{min}$)的变化情况如图所示，则$y$关于$x$的函数解析式为$y = \begin{cases} \frac{1}{15}x, & 0 \leq x \leq 30, \\ 2, & 30 ＜ x \leq 40, \\ \frac{1}{10}x - 2, & 40 ＜ x \leq 60. \end{cases}$.

答案：
3.$y = \begin{cases} \frac{1}{15}x, & 0 \leq x \leq 30, \\ 2, & 30 ＜ x \leq 40, \\ \frac{1}{10}x - 2, & 40 ＜ x \leq 60. \end{cases}$
[解析]当$0 \leq x \leq 30$时，设$y = kx$，将(30,2)代入，可得$k = \frac{1}{15}$，所以$y = \frac{1}{15}x$;
当$30 ＜ x \leq 40$时，$y = 2$;
当$40 ＜ x \leq 60$时，设$y = mx + b$，将(40,2)，(60,4)代入，可得$\begin{cases} 40m + b = 2, \\ 60m + b = 4, \end{cases}$
所以$m = \frac{1}{10}$，$b = -2$，所以$y = \frac{1}{10}x - 2$.
故y关于x的函数解析式为$y = \begin{cases} \frac{1}{15}x, & 0 \leq x \leq 30, \\ 2, & 30 ＜ x \leq 40, \\ \frac{1}{10}x - 2, & 40 ＜ x \leq 60. \end{cases}$