《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 比较下列各题中两个值的大小：
(1) $ \log_{2}5 $，$ \log_{0.5}0.3 $;
(2) $ \log_{3}\pi $，$ \log_{2}0.8 $.
分析：本例各题中两个值都是底数不同的对数，不能直接利用对数函数的单调性比较大小. 对于 (1) 中的两个值，注意到 $ 0.5 = 2^{-1} $，因此利用换底公式可以将 $ \log_{0.5}0.3 $ 转化为以 2 为底的对数，即可利用对数函数的单调性比较它们的大小；对于 (2) 中的两个值，通过选择特殊的中间量 0，即可间接比较大小.

答案： 解：
(1) 因为 $ \log_{0.5}0.3 = \log_{2}\frac{10}{3} $，而函数 $ f(x) = \log_{2}x $ 是增函数，所以 $ \log_{2}5 ＞ \log_{2}\frac{10}{3} $，即 $ \log_{2}5 ＞ \log_{0.5}0.3 $.
(2) 因为 $ \log_{3}\pi ＞ \log_{3}1 = 0 $，$ \log_{2}0.8 ＜ \log_{2}1 = 0 $，所以 $ \log_{3}\pi ＞ \log_{2}0.8 $.
评析：对于同底数的两个对数，可以构造一个对数函数，直接利用对数函数的单调性来比较大小. 对于不同底数的两个对数，通常利用换底公式将其转化为同底数的两个对数，再利用对数函数的单调性来比较大小；或选取一个特殊的数(如 1 或 0)作为中间量，间接比较这两个对数的大小.
变式：若实数 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ \log_{a}3 ＜ 0 ＜ \log_{b}3 ＜ \log_{c}3 $，则下列关系中成立的是(

).
(A) $ a ＜ b ＜ c $
(B) $ b ＜ a ＜ c $
(C) $ c ＜ b ＜ a $
(D) $ a ＜ c ＜ b $
提示与答案：利用换底公式，将所有对数都用以 3 为底的对数表示，再利用对数函数的性质，可得 $ a ＜ c ＜ b $，故选 D.

1. 设 $ P = \log_{2}3 $，$ Q = \log_{3}2 $，$ R = \log_{2}(\log_{3}2) $，则(A).

A.$ R ＜ Q ＜ P $
B.$ P ＜ R ＜ Q $
C.$ Q ＜ R ＜ P $
D.$ R ＜ P ＜ Q $

答案： 1. A
【解析】因为$\log_{2}(\log_{3}2)＜0＜\log_{3}2＜1＜\log_{2}3$，所以$R＜Q＜P$.

2. 若 $ \log_{a}\frac{1}{2} ＜ 1 $，则 $ a $ 的取值范围是$(0,\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)$.

答案： 2. $(0,\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)$
【解析】由已知得$\log_{a}\frac{1}{2}＜1=\log_{a}a$，所以$\begin{cases}a＞1,\\a＞\frac{1}{2},\end{cases}$或$\begin{cases}0＜a＜1,\\a＜\frac{1}{2}.\end{cases}$
综上，$0＜a＜\frac{1}{2}$或$a＞1$.

3. 函数 $ y = |\ln x| $ 的单调递增区间是$[1,+\infty)$.

答案： 3. $[1,+\infty)$
【解析】因为$y=|\ln x|=\begin{cases}\ln x,&x\geqslant1,\\-\ln x,&0＜x＜1,\end{cases}$
所以函数$y=|\ln x|$的单调递增区间是$[1,+\infty)$.

4. 函数 $ y = \log_{\frac{1}{2}}x $ 的反函数是$y=(\frac{1}{2})^{x}$.

答案： 4. $y=(\frac{1}{2})^{x}$

1. 函数 $ y = a^{x} $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)的反函数的图象过点 $ (\sqrt{a}, a) $，则 $ a $ 的值为(B).

A.2
B.$ \frac{1}{2} $
C.2 或 $ \frac{1}{2} $
D.3

答案： 1. B

2. 设 $ a = \log_{3}6 $，$ b = \log_{6}12 $，$ c = \log_{9}18 $，则(B).

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ b ＜ a $
C.$ c ＜ a ＜ b $
D.$ b ＜ a ＜ c $

答案： 2. B
【解析】$a=\frac{\lg6}{\lg3}=1+\frac{\lg2}{\lg3}$，$b=\frac{\lg12}{\lg6}=1+\frac{\lg2}{\lg6}$，$c=\frac{\lg18}{\lg9}=1+\frac{\lg2}{\lg9}$.因为$0＜\lg3＜\lg6＜\lg9$，所以$c＜b＜a$.