《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 设 $ a = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{\frac{2}{5}} $，$ b = \left( \dfrac{2}{5} \right)^{\frac{3}{5}} $，$ c = \left( \dfrac{2}{5} \right)^{\frac{2}{5}} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系是(A).

A.$ a ＞ c ＞ b $
B.$ a ＞ b ＞ c $
C.$ c ＞ a ＞ b $
D.$ b ＞ c ＞ a $

答案： 1.A
【解析】因为函数$y=x^{\frac{2}{5}}$在$(0,+\infty)$上单调递增,且
$\frac{3}{5}＞\frac{2}{5},$所以$(\frac{3}{5})^{\frac{2}{5}}＞(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}}.$因为函数$y=(\frac{2}{5})^{x}$在$\mathbf{R}$
上单调递减,且$\frac{3}{5}＞\frac{2}{5},$所以$(\frac{2}{5})^{\frac{3}{5}}＜(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}}.$所以
$(\frac{2}{5})^{\frac{3}{5}}$＜(\frac{2}{5})^{\frac{2}{5}}＜(\frac{3}{5})^{\frac{2}{5}},即b＜c＜a或a＞c＞b.故选A.

2. 已知函数 $ f(x) = \left( \dfrac{1}{\pi} \right)^x $，若实数 $ m $，$ n $ 满足 $ f(m) ＞ f(n) $，则 $ m $，$ n $ 的大小关系是m＜n.

答案： 2.m＜n
【解析】因为$f(x)=(\frac{1}{\pi})^{x},0＜\frac{1}{\pi}＜1,$则函数f(x)
单调递减,又因为f(m)＞f(n),所以m＜n.

3. 已知函数 $ f(x) = a^{x^2 - x} $($ 0 ＜ a ＜ 1 $)，实数 $ m $ 满足 $ f(m) ＞ 1 $，则 $ m $ 的取值范围是(0,1).

答案： 3.(0,1)
【解析】由已知可得$f(m)=a^{m^{2}-m}＞1,$又因为0＜
a＜1,所以$m^{2}-m＜0,$解得0＜m＜1.

4. 已知函数 $ f(x) = |2^x - 1| $，$ a ＜ b ＜ c $，且 $ f(a) ＞ f(c) ＞ f(b) $，试比较 $ 2^a + 2^c $ 与 $ 2 $ 的大小.

答案： $4.2^{a}+2^{c}＜2$
【解析】由题意知a＜0,c＞0,所以$f(a)=1-2^{a},$
$f(c)=2^{c}-1.$又因为f(a)＞f(c),即$1-2^{a}＞2^{c}-1,$所以
$2^{a}+2^{c}＜2.$

1. 已知函数 $ f(x) = 2^{|x - 1|} + m $ 的图象与 $ x $ 轴有公共点，则实数 $ m $ 的取值范围是(-\infty,-1].
2. 设函数 $ f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \leq 0, \\ 2^x, & x ＞ 0, \end{cases} $ 则满足 $ f(x) + f\left( x - \dfrac{1}{2} \right) ＞ 1 $ 的 $ x $ 的取值范围是(-\frac{1}{4},+\infty).

答案： $1.(-\infty,-1]$
$2.(-\frac{1}{4},+\infty)$
【解析】若$x\leq0,$则$x-\frac{1}{2}\leq-\frac{1}{2}.$由f(x)+
$f(x-\frac{1}{2})＞1$可得$x+1+x-\frac{1}{2}+1＞1,$即$2x＞-\frac{1}{2},$
故$x＞-\frac{1}{4},$此时$-\frac{1}{4}＜x\leq0.$
若x＞0,则$f(x)=2^{x}＞1,x-\frac{1}{2}＞-\frac{1}{2}.$
当$x-\frac{1}{2}＞0,$即$x＞\frac{1}{2}$时,满足$f(x)+f(x-\frac{1}{2})＞$
1;
当$-\frac{1}{2}＜x-\frac{1}{2}\leq0,$即0＜x\leq\frac{1}{2}时$,f(x-\frac{1}{2})=$
$x-\frac{1}{2}+1=x+\frac{1}{2}＞\frac{1}{2},$
此时满足$f(x)+f(x-\frac{1}{2})＞1.$综上$,x＞-\frac{1}{4}.$