《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 是否存在实数 $m$，使得 $\log_{2}(-m^{2}+2m + 4)=2$ 成立？
分析：先将对数式转化成指数式，再解方程即可.

答案： 解：由 $\log_{2}(-m^{2}+2m + 4)=2$，得 $-m^{2}+2m + 4 = 2^{2}$，即 $m^{2}-2m = 0$，解得 $m = 0$，或 $m = 2$.
经检验，当 $m = 0$ 或 $m = 2$ 时，符合题意.
所以，存在实数 $m = 0$ 或 $m = 2$，使得 $\log_{2}(-m^{2}+2m + 4)=2$ 成立.
评析：根据对数与指数的关系，常常可以将指数式与对数式进行等价转化. 在解决与对数有关的问题时，一定要注意使对数有意义的限定条件，即要考虑对数的真数大于 $0$，底数大于 $0$ 且不等于 $1$，要特别注意底数含有字母的情况.
变式：是否存在实数 $m$，使得 $\log_{(2m + 1)}(-m^{2}+2m + 4)=2$ 成立？
提示与答案：存在实数 $m=\frac{3}{5}$，使得 $\log_{(2m + 1)}(-m^{2}+2m + 4)=2$ 成立.