《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 画出函数 $ y = 2|x - 1| - 3|x| $ 的图象，并根据图象求函数的最大值.
分析：先分类讨论去掉绝对值符号，然后画出函数的图象，进而求出函数的最大值.

答案：
$y = 2|x - 1| - 3|x|$，
当$x ＜ 0$时，$y = 2(1 - x) + 3x = x + 2$，
当$0 \leq x ＜ 1$时，$y = 2(1 - x) - 3x = 2 - 5x$，
当$x \geq 1$时，$y = 2(x - 1) - 3x = -x - 2$，
函数解析式为：
$y = \begin{cases} x + 2,x ＜ 0, \\2 - 5x, 0 \leq x ＜ 1, \\-x - 2, x \geq 1.\end{cases}$
根据函数解析式，函数图象由三段直线段组成：
当$x ＜ 0$时，$y = x + 2$，是一条斜率为1的直线；
当$0 \leq x ＜ 1$时，$y = 2 - 5x$，是一条斜率为-5的直线；
当$x \geq 1$时，$y = -x - 2$，是一条斜率为-1的直线。
由图象可知，当$x = 0$时，$y$取得最大值$2$。
故函数的最大值为$2$。