《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(x, -3)$，$\cos \alpha = \frac{4}{5}$，求角 $\alpha$ 的正弦值和正切值.
分析：先表示出点 $P$ 到原点的距离 $r = \sqrt{x^{2} + (-3)^{2}}$，再用 $r$ 和点 $P$ 的横坐标 $x$ 表示出 $\cos \alpha$，并结合已知条件列方程，求出 $x$ 的值，最后根据定义即可求出角 $\alpha$ 的正弦值和正切值.

答案： 解：点 $P$ 到原点的距离是 $r = \sqrt{x^{2} + (-3)^{2}}$.
因为 $\cos \alpha = \frac{x}{r}$，所以 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + (-3)^{2}}} = \frac{4}{5}$，解得 $x = 4$.
于是点 $P$ 的坐标为 $(4, -3)$，点 $P$ 到原点的距离 $r = 5$.
所以 $\sin \alpha = \frac{-3}{r} = -\frac{3}{5}$，$\tan \alpha = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}$.
评析：利用三角函数的等价定义，结合已知条件求出 $x$ 是解决本例的关键，列方程是解决这类问题的基本方法.