《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知函数 $ f(x) = \ln(x + 1) $（$ x ＞ 0 $），问是否存在正数 $ a $，使得当 $ x ＞ 0 $ 时，恒有 $ f(x) ＞ ax $?
分析：判断 $ f(x) ＞ ax $ 是否恒成立，可以用函数思想，将不等式两边看作两个函数，作出两个函数的图象，观察图象，寻找是否存在正数 $ a $，使得在区间 $ (0, +\infty) $ 上，函数 $ y = f(x) $ 的图象始终在函数 $ y = ax $ 的图象的上方.

答案：
解：作出函数 $ f(x) = \ln(x + 1) $ 和 $ y = ax $（$ a ＞ 0 $）在区间 $ (0, +\infty) $ 上的图象，如图 4.4 - 1 所示. 函数 $ y = ax $（$ a ＞ 0 $）的图象过坐标原点，且当 $ x ＞ 0 $ 时，函数 $ y = ax $（$ a ＞ 0 $）的增长速度不变；函数 $ f(x) = \ln(x + 1) $ 的图象也过坐标原点，且 $ y = \ln(x + 1) $ 的增长速度越来越慢，最终会慢于 $ y = ax $ 的增长速度，因此无论正数 $ a $ 取值多小，总会存在一个 $ x_{0} $，当 $ x ＞ x_{0} $ 时，恒有 $ \ln(x + 1) ＜ ax $，故不存在正数 $ a $，使得 $ f(x) ＞ ax $（$ a ＞ 0 $）恒成立.
评析：在解决不等式或方程问题时，常常运用函数思想、“数形结合”思想，将问题转化为求函数图象交点的问题. 不同函数模型刻画了现实世界不同类型问题的变化规律，线性函数、指数函数、对数函数的增长分别呈“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”，要利用好它们增长速度的差异来解决问题.

1. 下列函数中，随着 $ x $ 的增大，增长速度最快的是(C).

A.$ y = 10 $
B.$ y = 10x $
C.$ y = 10^{x} $
D.$ y = \lg x $

答案： 1. C

2. 在某个实验中，测得变量 $ x $ 和变量 $ y $ 的几组数据，如下表所示，则下列选项中，最适合表示 $ x $，$ y $ 之间的关系的函数模型是(D).


A.$ y = 2x $
B.$ y = 2x - 2 $
C.$ y = x^{2} - 1 $
D.$ y = \log_{2}x $

答案： 2. D
方法总结：
函数模型的选取
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型$y=x^{n}(n＞0)$则可以描述增长幅度不同的变化，$n$值较小$(n\leqslant1)$时，增长较慢；$n$值较大$(n＞1)$时，增长较快.

3. 函数 $ y = \log_{a}x $ 与 $ y = -x + a $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(A).

答案： 3. A