《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 求下列函数的定义域：
(1) $ f(x) = \frac{1}{\ln(x + 3)} $;
(2) $ f(x) = \log_{a}(a^{x} - 1) $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）.
分析：求函数定义域就是寻求使得函数表达式有意义的自变量 $ x $ 的集合.

答案： 解：
(1) 由 $ \begin{cases} \ln(x + 3) \neq 0, \\ x + 3 ＞ 0, \end{cases} $ 得 $ \begin{cases} x + 3 \neq 1, \\ x ＞ -3, \end{cases} $ 即 $ x ＞ -3 $，且 $ x \neq -2 $.
所以函数 $ f(x) = \frac{1}{\ln(x + 3)} $ 的定义域为 $ \{ x | x ＞ -3 $，且 $ x \neq -2 \} $.
(2) 由 $ a^{x} - 1 ＞ 0 $，得 $ a^{x} ＞ 1 $.
当 $ a ＞ 1 $ 时，解得 $ x ＞ 0 $; 当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时，解得 $ x ＜ 0 $.
所以当 $ a ＞ 1 $ 时，函数 $ f(x) = \log_{a}(a^{x} - 1) $ 的定义域为 $ \{ x | x ＞ 0 \} $; 当 $ 0 ＜ a ＜ 1 $ 时，函数 $ f(x) = \log_{a}(a^{x} - 1) $ 的定义域为 $ \{ x | x ＜ 0 \} $.

1. 给出下列函数：① $ y = \frac{1}{2}\log_{2}x^{2} $; ② $ y = 2\log_{2}\sqrt{x} $; ③ $ y = \log_{2}|x| $; ④ $ y = \log_{2}\sqrt{x^{2}} $. 其中与函数 $ y = \log_{2}x $ 表示同一个函数的是②(填序号).

答案： 1. ②
【解析】函数$y=\log_{2}x$的定义域为$(0,+\infty)$，
而①③④中函数的定义域都是$\{x\in\mathbf{R}$，且$x\neq0\}$，故①③④不符合题意；
②中函数$y=2\log_{2}\sqrt{x}$的定义域为$(0,+\infty)$，
故$y=2\log_{2}\sqrt{x}=2\log_{2}x^{\frac{1}{2}}=\log_{2}x$，符合题意.

2. 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，……，1 个这样的细胞分裂后得到了 $ x $ 个细胞，分裂次数 $ y $ 是 $ x $ 的函数吗？如果是，写出该函数的解析式.

答案： 2. 由题意得$x=2^{y}$，所以分裂次数$y$是$x$的函数，为$y=\log_{2}x(x=2^{n},n\in\mathbf{N}^{*})$。

3. 求下列函数的定义域：
(1) $ y = \log_{\frac{1}{3}}(x^{2} + 1) $;
(2) $ y = \frac{\log_{2}x}{2x - 3} $;
(3) $ y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{\lg(x - 3)} $.

答案： 3.
(1)函数$y=\log_{\frac{1}{3}}(x^{2}+1)$的定义域为$\mathbf{R}$.
(2)函数$y=\frac{\log_{2}x}{2x - 3}$的定义域为$\{x\mid x＞0$，且$x\neq\frac{3}{2}\}$。
(3)函数$y=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{\lg(x - 3)}$的定义域为$\{x\mid x＞3$，且$x\neq4\}$。

已知函数 $ y = \log_{5730\sqrt{\frac{1}{2}}}x $，其中自变量 $ x $ 表示死亡生物体内碳 14 的含量，函数值 $ y $ 表示生物死亡年数. 请利用计算器，填写下表（精确到 1）.
由表中的数据发现，生物死亡年数随着碳 14 含量的递减会发生怎样的变化?

答案： 碳14的含量$x$ 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1
生物死亡年数$y$ 871 2949 5730 9953 19035
由表中的数据可以发现，随着碳14含量的递减，生物死亡年数越来越大.