《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. $330^{\circ}$角的弧度数是(D).

A.$-\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{5\pi}{6}$
C.$\frac{7\pi}{6}$
D.$\frac{11\pi}{6}$

答案： 1.D

2. $-\frac{19\pi}{6}$角是(B).

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 2.B

3. 在半径为$1cm$的圆中，$150^{\circ}$的圆心角所对的弧的长度为(D).

A.$\frac{2}{3}cm$
B.$\frac{2}{3}\pi cm$
C.$\frac{5}{6}cm$
D.$\frac{5}{6}\pi cm$

答案： 3.D

4. 已知集合$A=\{\alpha|-\frac{\pi}{2}+k\pi\leq\alpha\leq\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbf{Z}\},B=\{\alpha|0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\}$，则$A\cap B=$$\{\alpha\mid0＜\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}\}$.

答案： 4.$\{\alpha\mid0＜\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}\}$
【解析】因为$A=\{\alpha\mid-\frac{\pi}{2}+k\pi\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in \mathbf{Z}\}$,
$B=\{\alpha\mid0＜\alpha＜\frac{\pi}{2}\}$,
所以只有取k=0时,A与B有公共元素,此时$A\cap B=$
$\{\alpha\mid0＜\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}\}$.

5. 已知一个扇形的周长为$6$，面积为$2$，则此扇形的圆心角(正角)的弧度数为1或4.

答案： 5.1或4
【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,由题意可知2r+
l=6,
又因为$S_{扇形}=\frac{1}{2}lr=2$,
两式联立解得r=1,l=4或r=2,l=2,所以扇形的圆
心角的弧度数是$\frac{4}{1}=4$,或$\frac{2}{2}=1$.

1. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为$1:2$，则这两个扇形的周长之比为1:$\sqrt{2}$.

答案： 1.1:$\sqrt{2}$
【解析】设扇形的圆心角的弧度数为α,两个扇形所在
圆的半径分别为r和R,则$\frac{\frac{1}{2}\alpha r^{2}}{\frac{1}{2}\alpha R^{2}}=\frac{1}{2}$,所以r:R=1:
$\sqrt{2}$,所以两个扇形周长之比为$\frac{2r+\alpha r}{2R+\alpha R}=1:\sqrt{2}$.

2. 已知扇形$AOB$的弧长为$2\pi cm$，扇形的面积为$6\pi cm^{2}$，求扇形中所含弓形的面积.

答案： 2.设扇形的圆心角为α,半径为Rcm,由题意可得αR=
2π,
则$\frac{1}{2}\cdot2\pi\cdot R=6\pi$,解得R=6(cm),$\alpha=\frac{\pi}{3}$,
所以扇形中所含弓形的面积$S_{弓形}=S_{扇形}-S_{\triangle OAB}=$
$6\pi-\frac{1}{2}×6×6×\sin\frac{\pi}{3}=6\pi-9\sqrt{3}(cm^{2})$.
方法总结：
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积
S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能
求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能
求得剩余的两个量(通过方程组求得).
(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化
为二次函数的最值问题.
(3)扇形圆心角弧度数的取值范围是0＜θ＜2π,
实际问题中注意根据这一范围进行取舍.