《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

例 已知 $ a ＞ b ＞ 0 $，利用幂函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：
（1）$ a^{2} $ 和 $ b^{2} $；（2）$ a^{3} $ 和 $ b^{3} $；
（3）$ a^{-1} $ 和 $ b^{-1} $；（4）$ a^{\frac{1}{2}} $ 和 $ b^{\frac{1}{2}} $.
分析：本例中的每组数恰好可以看作一个幂函数的两个函数值，通过构造相应的幂函数，直接利用幂函数的单调性即可比较大小.

答案： 解：（1）因为函数 $ y = x^{2} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，且 $ a ＞ b ＞ 0 $，所以 $ a^{2} ＞ b^{2} $.
（2）因为函数 $ y = x^{3} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，且 $ a ＞ b ＞ 0 $，所以 $ a^{3} ＞ b^{3} $.
（3）因为函数 $ y = x^{-1} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递减，且 $ a ＞ b ＞ 0 $，所以 $ a^{-1} ＜ b^{-1} $.
（4）因为函数 $ y = x^{\frac{1}{2}} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，且 $ a ＞ b ＞ 0 $，所以 $ a^{\frac{1}{2}} ＞ b^{\frac{1}{2}} $.
评析：对于比较结构相同或类似的两个式子（数）大小的问题，经常考虑构造相应的函数，再利用函数的单调性得出结论.

1. 若幂函数 $ y = f(x) $ 的图象经过点 $ (81, 9) $，则 $ f(9) $ 的值为(C).

A.81
B.9
C.3
D.1

答案： 1.C
【解析】设幂函数$y=f(x)=x^{\alpha}$，
因为幂函数$y=f(x)$的图象经过点$(81,9)$，
所以$9=81^{\alpha}$，所以$\alpha=\frac{1}{2}$，所以幂函数$f(x)=x^{\alpha}=x^{\frac{1}{2}}$，所以$f(9)=9^{\frac{1}{2}}=3$，故选C.