《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 下列函数为奇函数的是(C).

A.$ y = \sqrt{x} $
B.$ y = x + 1 $
C.$ y = x^3 $
D.$ y = x^2 + 2x + 1 $

答案： 1.C
【解析】选项A中，$y=\sqrt{x}$的定义域为$[0,+\infty)$，不关
于原点对称，不为奇函数；
选项B中，$y=x+1$不为奇函数；
选项C中，$y=f(x)=x^{3}$的定义域为$\mathbf{R}$，满足$f(-x)=-f(x)$，$y=x^{3}$是奇函数；
选项D中，$y=x^{2}+2x+1$为二次函数，对称轴为
$x=-1$，不为奇函数.故选C.

2. 若偶函数 $ f(x) $ 在区间 $ (-\infty, -1] $ 上单调递增，则下列关系式中成立的是(D).

A.$ f(-\frac{3}{2}) ＜ f(-1) ＜ f(2) $
B.$ f(-1) ＜ f(-\frac{3}{2}) ＜ f(2) $
C.$ f(2) ＜ f(-1) ＜ f(-\frac{3}{2}) $
D.$ f(2) ＜ f(-\frac{3}{2}) ＜ f(-1) $

答案： 2.D
【解析】因为$f(x)$是偶函数，所以
$f(-\frac{3}{2})=f(\frac{3}{2})$，$f(-1)=f(1)$，$f(-2)=f(2)$.
又$f(x)$在$(-\infty,-1]$上是增函数，
所以$f(-2)＜f(-\frac{3}{2})＜f(-1)$，
即$f(2)＜f(-\frac{3}{2})＜f(-1)$.
故选D.

3. 已知函数 $ f(x) = (m - 1)x^2 + (m - 2)x + (m^2 - 7m + 12) $ 为偶函数，则 $ m $ 的值为2.

答案： 3.2
【解析】由已知可得$f(-x)=f(x)$，即$(m-2)x=0$
恒成立，所以$m$的值为2.

4. 若函数 $ f(x) = \frac{x + a}{x^2 + bx + 1} $ 在区间 $ [-1, 1] $ 上是奇函数，则 $ f(x) $ 的解析式为$f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$.

答案： 4.$f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$
【解析】由$f(0)=0$，得$a=0$，由$f(-1)=-f(1)$，得
$b=0$，所以$f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$.

5. 设函数 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的定义域都是 $ \{x \in \mathbf{R} | x \neq \pm 1\} $，$ f(x) $ 是偶函数，$ g(x) $ 是奇函数，且 $ f(x) + g(x) = \frac{1}{x - 1} $，求 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的解析式.

答案： 5.因为$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，所以$f(-x)=f(x)$，且$g(-x)=-g(x)$.
由$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$①，
得$f(-x)+g(-x)=\frac{1}{-x-1}$，
即$f(x)-g(x)=\frac{1}{-x-1}=-\frac{1}{x+1}$②，
联立①②，解得$f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}$，$g(x)=\frac{x}{x^{2}-1}$.