《2025年人教金学典同步练习册同步解析与测评高中数学必修第一册人教版A版》

1. 若 $ f(x) = \frac{1 - x}{1 + x} $，则 $ f(0) = $(A).
$ (A) $ $ 1 $
$ (B) $ $ \frac{1}{2} $
$ (C) $ $ 0 $
$ (D) $ $ -1 $

答案： 1.A
【解析】因为$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$，所以$f(0)=\frac{1 - 0}{1 + 0}=1$.故选A.

2. 下列四组函数中，表示同一个函数的是(D).
$ (A) $ $ y_1 = \frac{(x + 3)(x - 5)}{x + 3} $，$ y_2 = x - 5 $
$ (B) $ $ y_1 = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1} $，$ y_2 = \sqrt{(x + 1)(x - 1)} $
$ (C) $ $ f(x) = x $，$ g(x) = \sqrt{x^2} $
$ (D) $ $ f(x) = \sqrt[3]{x^4 - x^3} $，$ F(x) = x \cdot \sqrt[3]{x - 1} $

答案： 2.D
【解析】选项A中，$y_1=\frac{(x + 3)(x - 5)}{x + 3}(x\neq - 3)$，$y_2 = x - 5(x\in R)$，故选项A错误；
选项B中，$y_1=\sqrt{x + 1}\cdot\sqrt{x - 1}(x\geq1)$，$y_2=\sqrt{(x + 1)(x - 1)}(x\geq1或x\leq - 1)$，故选项B错误；
选项C中，$f(x)=x$，$g(x)=\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，故选项C错误；
选项D中，$f(x)=\sqrt[3]{x^4 - x^3}=x\cdot\sqrt[3]{x - 1}$，$F(x)=x\cdot\sqrt[3]{x - 1}$，由于函数的对应关系完全一致，函数的定义域也相同，故选项D正确.

3. 函数 $ y = \sqrt{2x + 1} + \frac{1}{\sqrt{3 - 4x}} $ 的定义域为[-1/2,3/4).

答案： 3.$\left[-\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right)$

4. 已知函数 $ f(x) = \frac{6}{x - 1} - \sqrt{x + 4} $.
（1）求函数 $ f(x) $ 的定义域；
（2）求 $ f(-1) $，$ f(12) $ 的值.

答案： 4.
(1)要使函数$f(x)$有意义，需满足$\begin{cases}x - 1\neq0,\\x + 4\geq0.\end{cases}$
所以$x\geq - 4$且$x\neq1$，
即函数$f(x)$的定义域为$[-4,1)\cup(1,+\infty)$.
(2)$f(-1)=\frac{6}{-1 - 1}-\sqrt{-1 + 4}=-3-\sqrt{3}$，
$f(12)=\frac{6}{12 - 1}-\sqrt{12 + 4}=\frac{6}{11}-4=-\frac{38}{11}$.

1. 若 $ f(x) = 3x^2 + 2x $ 的值域为 $ \{ 5,16,85 \} $，则函数的定义域为{1,2,5,-5/3,-8/3,-17/3}.

答案： 1.$\left\{1,2,5,-\frac{5}{3},-\frac{8}{3},-\frac{17}{3}\right\}$
【解析】因为$f(x)=3x^2 + 2x$的值域为$\{5,16,85\}$，
所以令$f(x)=3x^2 + 2x = 5$，可得$x = 1$或$x = -\frac{5}{3}$；
令$f(x)=3x^2 + 2x = 16$，可得$x = 2$或$x = -\frac{8}{3}$；
令$f(x)=3x^2 + 2x = 85$，可得$x = 5$或$x = -\frac{17}{3}$.
故所求函数的定义域为$\left\{1,2,5,-\frac{5}{3},-\frac{8}{3},-\frac{17}{3}\right\}$.

2. 已知函数 $ y = \sqrt{mx^2 - 6mx + m + 8} $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $.
（1）求实数 $ m $ 的取值范围；
（2）当 $ m $ 变化时，若 $ y $ 的最小值为 $ f(m) $，求 $ f(m) $ 的值域.

答案： 2.
(1)由题意得，关于$x$的不等式$mx^2 - 6mx + m + 8\geq0$在$x\in R$上恒成立.当$m = 0$时，$mx^2 - 6mx + m + 8 = 8＞0$恒成立；当$m\neq0$时，应有$\begin{cases}m＞0,\\\Delta = 36m^2 - 4m(m + 8)\leq0,\end{cases}$
解得$0＜m\leq1$.综上可知，$m$的取值范围是$0\leq m\leq1$.
(2)当$m = 0$时，$y = 2\sqrt{2}$；当$0＜m\leq1$时，$y=\sqrt{m(x - 3)^2 + 8 - 8m}$，$y$的最小值为$\sqrt{8 - 8m}$.
因此，$f(m)=\sqrt{8 - 8m}(0\leq m\leq1)$，$f(m)$的值域为$[0,2\sqrt{2}]$.