《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

7. 如图 4 - 4，已知在 $ □ ABCD $ 中，$ AE : EB = 1 : 2 $.
(1) 求 $ \triangle AEF $ 与 $ \triangle CDF $ 的周长之比；
(2) 如果 $ S_{\triangle AEF} = 6 \, cm^2 $，求 $ S_{\triangle CDF} $ 的值.

答案：
(1)因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AB=CD，DC//AB.
所以∠CAB=∠DCA，∠DEA=∠CDE.
所以△AEF∽△CDF.
因为 AE:EB=1:2，
所以 AE:AB=AE:CD=1:3.
所以△AEF 与△CDF 的周长之比为 1:3.
(2)因为△AEF∽△CDF，AE:CD=1:3，
所以$S_{\triangle AEF}:S_{\triangle CDF}$=1:9.
因为$S_{\triangle AEF}=6\ cm^2$，
所以$S_{\triangle CDF}=54\ cm^2$.

1. 已知：如图 4 - 5，$ \triangle ABC $ 的三个顶点分别为 $ A(0, - 3) $，$ B(3, - 2) $，$ C(2, - 4) $，正方形网格中，每个小正方形的边长是 $ 1 $ 个单位长度.
(1) 画出 $ \triangle ABC $ 向上平移 $ 6 $ 个单位长度得到的 $ \triangle A_1B_1C_1 $；
(2) 以点 $ C $ 为位似中心，在网格中画出 $ \triangle A_2B_2C_2 $，使 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 与 $ \triangle ABC $ 位似，且 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 与 $ \triangle ABC $ 的相似比为 $ 2 : 1 $，并直接写出点 $ A_2 $ 的坐标.

答案：

(1)如答图 4-1，△A₁B₁C₁ 为所求.
(2)如答图 4-1，△A₂B₂C₂ 为所求，点 A₂ 的坐标为(-2，-2).

2. 如图 4 - 6，在平行四边形 $ ABCD $ 中，过点 $ A $ 作 $ AE \perp BE $，垂足为点 $ E $，连接 $ DE $，$ F $ 为线段 $ DE $ 上一点，且 $ \angle AFE = \angle B $.
(1) 求证：$ \triangle ADF \sim \triangle DEC $；
(2) 若 $ AB = 8 $，$ AD = 6\sqrt{3} $，$ AF = 4\sqrt{3} $，求 $ \frac{AE}{AD} $ 的值.

答案：
(1)证明：因为平行四边形 ABCD 中，AB//CD，AD//BC，
所以∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED.
因为∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，
所以∠AFD=∠DCE，
所以△ADF∽△DEC.
(2)解：因为四边形 ABCD 为平行四边形，
所以 CD=AB，AD//BC，
所以 AE⊥AD.
由
(1)知△ADF∽△DEC，
所以$\frac{AF}{CD}$=$\frac{AD}{DE}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{8}$=$\frac{6\sqrt{3}}{DE}$，
所以 DE=12.
因为在 Rt△ADE 中，$AE^2=DE^2-AD^2$，
所以 AE=6，
所以$\frac{AE}{AD}$=$\frac{6}{6\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.