《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 阅读下面的例题：解方程 $ x^{2}-|x|-2 = 0 $.
当 $ x\geq0 $ 时，原方程化为 $ x^{2}-x - 2 = 0 $，解得 $ x = 2 $ 或 $ x = -1 $(不合题意舍去)；
当 $ x\lt0 $ 时，原方程化为 $ x^{2}+x - 2 = 0 $，解得 $ x = -2 $ 或 $ x = 1 $(不合题意舍去).
所以原方程的根是 $ x = 2 $ 或 $ x = -2 $.
请参照例题解方程：
(1) $ x^{2}-|x|-6 = 0 $；
(2) $ x^{2}-|x - 5|-5 = 0 $.

答案： 解：
(1)当$x\geqslant0$时，原方程化为$x^{2}-x-6=0$，
解得$x=3$或$x=-2$(舍去)；
当$x＜0$时，原方程化为$x^{2}+x-6=0$，解得$x=$
$-3$或$x=2$(舍去).
所以原方程的根是$x=3$或$x=-3$.
(2)当$x-5\geqslant0$，即$x\geqslant5$时，原方程化为$x^{2}-$$(x-5)-5=0$，即$x^{2}-x=0$，
解得$x=0$或$x=1$，均不合题意，舍去.
当$x-5＜0$，即$x＜5$时，原方程化为$x^{2}+(x-$$5)-5=0$，即$x^{2}+x-10=0$，解得$x=$$\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$或$x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$.
所以原方程的根为$x=\frac{-1+\sqrt{41}}{2}$或$x=\frac{-1-\sqrt{41}}{2}$.

2. 阅读下面的例题：解方程 $ x(x + 4)=6 $.
解：将原方程变形，得
$ [(x + 2)-2][(x + 2)+2]=6 $.
$ (x + 2)^{2}-2^{2}=6 $，
$ (x + 2)^{2}=6 + 2^{2} $，
$ (x + 2)^{2}=10 $.
直接开平方并整理，
得 $ x_{1}=-2+\sqrt{10} $，$ x_{2}=-2-\sqrt{10} $.
我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程 $ (x + 2)(x + 6)=5 $ 时写的解题过程.
解：原方程可变形，得
$ [(x + a)-b][(x + a)+b]=5 $.
$ (x + a)^{2}-b^{2}=5 $，
$ (x + a)^{2}=5 + b^{2} $.
直接开平方并整理，得 $ x_{1}=c $，$ x_{2}=d $.
上述过程中的 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 表示的数分别为4，2，-1，-7.
(2)请用“平均数法”解方程：$ (x - 4)(x + 2)=1 $.

答案： 解：
(1)4 2 -1 -7
(2)$(x-4)(x+2)=1$，
原方程化为$[(x-1)-3][(x-1)+3]=1$，
$(x-1)^{2}-3^{2}=1$，
$(x-1)^{2}=10$，
$x-1=\pm\sqrt{10}$，
解得$x_{1}=1+\sqrt{10}$，$x_{2}=1-\sqrt{10}$.