《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

6. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法. 配方法在代数式求值、解方程、求最值问题等方面都有广泛的应用. 如利用配方法求最小值，求 $a^{2}+6a + 8$ 的最小值.
解：$a^{2}+6a + 8 = a^{2}+6a + 3^{2}-3^{2}+8=(a + 3)^{2}-1$，因为不论 $a$ 取何值，$(a + 3)^{2}$ 总是非负数，即 $(a + 3)^{2}\geq0$，所以 $(a + 3)^{2}-1\geq-1$，所以当 $a = -3$ 时，$a^{2}+6a + 8$ 取得最小值，最小值是 $-1$.
根据上述材料，解答下列问题：
(1) 填空：$x^{2}-10x+$25$=(x-$5$)^{2}$；
(2) 将 $x^{2}-8x + 2$ 变形为 $(x + m)^{2}+n$，并求出 $x^{2}-8x + 2$ 的最小值.

答案： 解：
(1)25 5
(2)x²-8x+2
=x²-8x+16-16+2
=(x-4)²-14，
因为不论x取何值，(x-4)²总是非负数，
即(x-4)²≥0，
所以(x-4)²-14≥-14，
所以当x=4时，x²-8x+2取得最小值，最小值是-14.

1. 在实数范围内定义一种运算“$*$”，其规则为 $a*b = a^{2}-2ab + b^{2}$，根据这个规则可得方程 $(x - 4)*1 = 0$ 的解为 x₁=x₂=5.

答案： x₁=x₂=5

2. (1) 代数式 $m^{2}+2m + 3$ 的最小值是 2；(2) 代数式 $4 - x^{2}+2x$ 的最大值是 5.

答案：
(1)2
(2)5

3. 阅读材料：若 $m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$，求 $m$，$n$ 的值.
解：因为 $m^{2}-2mn + 2n^{2}-8n + 16 = 0$，
所以 $(m^{2}-2mn + n^{2})+(n^{2}-8n + 16)=0$，
所以 $(m - n)^{2}+(n - 4)^{2}=0$，
所以 $(m - n)^{2}=0$，$(n - 4)^{2}=0$，
所以 $n = 4$，$m = 4$.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) 已知 $x^{2}-4xy + 5y^{2}+6y + 9 = 0$，求 $x$，$y$ 的值；
(2) 已知 $\triangle ABC$ 的三边长 $a$，$b$，$c$ 都是正整数，且满足 $a^{2}+b^{2}-6a - 14b + 58 = 0$，求 $\triangle ABC$ 的边长 $c$ 的最大值.

答案： 解：
(1)因为x²-4xy+5y²+6y+9=0，
所以x²-4xy+4y²+y²+6y+9=0，
所以(x-2y)²+(y+3)²=0，
所以x-2y=0，y+3=0，
所以x=-6，y=-3.
(2)因为a²+b²-6a-14b+58=0，
所以a²-6a+9+b²-14b+49=0，
所以(a-3)²+(b-7)²=0，
所以a-3=0，b-7=0，
所以a=3，b=7，
所以4＜c＜10.
因为c是正整数，
所以△ABC的边长c的最大值为9.