《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 已知 $ \begin{cases}x + 2y - 8z = 0,\\2x - 3y + 5z = 0,\end{cases} $且 $ xyz \neq 0 $，那么 $ x:y:z $等于$2:3:1$.

答案： $2:3:1$

2. 已知 $ a $，$ b $，$ c $是$ \triangle ABC $的三边长，满足 $ \dfrac{a + 4}{3} = \dfrac{b + 3}{2} = \dfrac{c + 8}{4} $，且 $ a + b + c = 12 $，试判断$ \triangle ABC $的形状，并说明理由.

答案： $\triangle ABC$是直角三角形.理由如下：设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$，则$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$.因为$a+b+c=12$，所以$3k-4+2k-3+4k-8=12$，解得$k=3$，所以$a=5$，$b=3$，$c=4$，所以$c^2+b^2=4^2+3^2=25=a^2$，所以$\triangle ABC$是直角三角形.

3. 阅读下面的解题过程.
题目：已知 $ \dfrac{x}{a - b} = \dfrac{y}{b - c} = \dfrac{z}{c - a}(a,b,c $互不相等)，求 $ x + y + z $的值.
解：设 $ \dfrac{x}{a - b} = \dfrac{y}{b - c} = \dfrac{z}{c - a} = k $，则 $ x = k(a - b) $，$ y = k(b - c) $，$ z = k(c - a) $，
所以 $ x + y + z = k(a - b + b - c + c - a) = k \cdot 0 = 0 $，所以 $ x + y + z = 0 $.
依照上述方法解答下面的问题：
$ a $，$ b $，$ c $ 为非零实数，且 $ a + b + c \neq 0 $，当 $ \dfrac{a + b - c}{c} = \dfrac{a - b + c}{b} = \dfrac{-a + b + c}{a} $时，求 $ \dfrac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc} $的值.

答案： 8