《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

2. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.
例：已知$x$可取任何实数，试求二次三项式$x²+6x-1$的最小值.
解：$x²+6x-1=x²+2×3x+3²-3²-1=(x+3)²-10$.
因为无论$x$取何实数，总有$(x+3)²≥0$.
所以$(x+3)²-10≥-10$，即$x²+6x-1$的最小值是-10，
即无论$x$取何实数，$x²+6x-1$的值总是不小于-10的实数.
问题：
（1）已知$y=x²-4x+7$，求证：$y$是正数.
知识迁移：
（2）如图2-6-8，在Rt△ABC中，$\angle C=90°$，$AC=6$cm，$BC=4$cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在边CB上，从点C向点B以$\sqrt{3}$cm/s的速度移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时停止移动，另一点也随之停止移动.设△PCQ的面积为$S$cm²，运动时间为$t$s，求$S$的最大值.

答案：
(1)证明：$y=x^{2}-4x+7=x^{2}-4x+4+3=(x-2)^{2}+3$.
因为$(x-2)^{2}\geqslant0$，
所以$y\geqslant0+3=3$. 所以$y＞0$. 所以y是正数.
(2)解：由题意得$AP=2t cm$，$CQ=\sqrt{3}t cm$，$PC=(6-2t)cm(0＜t\leqslant\frac{4\sqrt{3}}{3})$.
所以$S=\frac{1}{2}PC\cdot CQ$
$=\frac{1}{2}(6-2t)\cdot\sqrt{3}t$
$=-\sqrt{3}t^{2}+3\sqrt{3}t$
$=-\sqrt{3}(t^{2}-3t)$
$=-\sqrt{3}(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
因为$(t-\frac{3}{2})^{2}\geqslant0$，
所以当$t=\frac{3}{2}$时，S取得最大值$\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

3. 子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩.”——《论语·第二章·为政篇》
列方程解决下面问题：
读诗词解题（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

答案： 解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为$x-3$，
根据题意得$10(x-3)+x=x^{2}$，
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=6$.
当$x=5$时，周瑜的年龄是25岁，
因为25非而立之年，
所以不符合题意，舍去；
当$x=6$时，周瑜的年龄是36岁，符合题意.
答：周瑜去世时的年龄是36岁.