《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

2. 如图 4 - 5 - 6，$\triangle ABC$中，$AB = 8cm$，$AC = 16cm$，点$P$从点$A$出发，以$1cm/s$的速度沿$AB$边向点$B$运动，点$Q$从点$C$同时出发，以$2cm/s$的速度沿$CA$边向点$A$运动。其中一个动点到达端点时停止运动，另一个也相应停止运动。那么，当以$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似时，运动时间是4 或$\frac{32}{5}$s。
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答案： 4 或$\frac{32}{5}$ 解析：设运动时间为$t(0 ＜ t \leqslant 8)\ s$.因为点$P$从点$A$出发，以$1\ cm/s$的速度沿$AB$边向点$B$运动，点$Q$从点$C$同时出发，以$2\ cm/s$的速度沿$CA$边向点$A$运动，所以$AP=t\ cm$，$CQ=2t\ cm$，$AQ=(16-2t)\ cm$.
因为$\angle BAC=\angle PAQ$，且以$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似，
所以$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$或$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$，
所以$\frac{t}{8}=\frac{16-2t}{16}$或$\frac{t}{16}=\frac{16-2t}{8}$，
所以$t=4$或$t=\frac{32}{5}$.

3. 在学习全等三角形的判定中，我们有“斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等”，这个定理可以推广到相似三角形的证明吗？
已知：如图 4 - 5 - 7，在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$中，$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{EF}$，求证：$\triangle ABC\backsim\triangle EFD$。
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答案： 证明：已知$\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{EF}$，设$\frac{AB}{AC}=\frac{EF}{DE}=k$，由勾股定理得$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=k^{2}AC^{2}-AC^{2}=(k^{2}-1)AC^{2}$，
$DF^{2}=EF^{2}-DE^{2}=k^{2}DE^{2}-DE^{2}=(k^{2}-1)DE^{2}$，
所以$\frac{BC}{DF}=\frac{\sqrt{k^{2}-1}AC}{\sqrt{k^{2}-1}DE}=\frac{AC}{DE}$.
又$\angle C=\angle D$，
所以$\triangle ABC \backsim \triangle EFD$.

1. 有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长为五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为(B).

A.五丈
B.四丈五尺
C.一丈
D.五尺

答案： B

2. 如图4-6-1，在小孔成像问题中，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的(C).

A.3倍
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.不知AB的长度，无法判断

答案： C