《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 如图1-7，在菱形 $ABCD$ 中，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$AB = 4$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$AD$ 上的动点且 $BE = AF$，给出下列结论：① $\triangle BEC\cong\triangle AFC$；② $\triangle ECF$ 为等边三角形；③ $\angle AGE = \angle AFC$. 其中正确结论的序号有①②③.

答案： ①②③

2. 如图1-8①，$\mathrm{Rt}\triangle CEF$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle CEF$，$\angle CFE$ 处的外角平分线交于点 $A$，过点 $A$ 分别作直线 $CE$，$CF$ 的垂线，$B$，$D$ 为垂足.
(1) $\angle EAF=$45$^{\circ}$.
(2)①求证：四边形 $ABCD$ 是正方形；
②若 $BE = EC = 3$，求 $DF$ 的长.
(3)如图1-8②，在 $\triangle PQR$ 中，$\angle QPR = 45^{\circ}$，高 $PH = 5$，$QH = 2$，则 $HR$ 的长为$\frac{15}{7}$.

答案：

(1)45
(2)①证明：，则∠AGE=∠AGF=90°.因为 AB⊥CE，AD⊥CF，所以∠B=∠D=90°=∠C，所以四边形 ABCD 是矩形.因为∠CEF，∠CFE 处的外角平分线交于点 A，所以 AB=AG，AD=AG，所以 AB=AD，所以四边形 ABCD 是正方形.
②解：设 DF=x，因为 BE=EC=3，所以 BC=6.由①得四边形 ABCD 是正方形，所以 BC=CD=6.在 Rt△ABE 与 Rt△AGE 中，$\begin{cases} AB=AG, \\ AE=AE, \end{cases}$所以 Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)，所以 BE=EG=3，同理，GF=DF=x.在 Rt△CEF 中，EC²+FC²=EF²，即 3²+(6 - x)²=(x + 3)²，解得 x=2，所以 DF 的长为 2.
(3)$\frac{15}{7}$

3. 如图1-9，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BC = 8$，$E$，$F$ 分别为 $AB$，$CD$ 的中点.
(1)求证：四边形 $AEFD$ 是矩形.
(2)如图1-10，点 $P$ 是边 $AD$ 上一点，点 $A$ 关于 $BP$ 的对称点为点 $M$.
①当点 $M$ 落在线段 $EF$ 上时，$\angle ABP=$30°；
②如图1-11，连接 $AM$ 交 $BP$ 于点 $N$，连接 $DM$，当 $\triangle AMD$ 是等腰三角形时，直接写出 $AN$ 的长.

答案：
(1)证明：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB=CD，AB//CD，∠A=90°.因为 E，F 分别为 AB，CD 的中点，所以 AE=EB，DF=FC，所以 AE=DF，AE//DF，所以四边形 AEFD 是平行四边形.因为∠A=90°，所以平行四边形 AEFD 是矩形.
(2)解：①30°
②AN 的长为$\sqrt{5}$或 4 或$\frac{40\sqrt{89}}{89}$.