《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

6. 如图 1-1-9，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 在对角线 $BD$ 上，$BE = DF$.
(1)求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；
(2)若 $BD$ 平分 $\angle ABC$，求证：四边形 $AECF$ 是菱形.
]

答案：

(1)如答图1−1−4，连接AC，与BD相交于点O,
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OA=OC,OB=OD.
因为BE=FD,
所以OB−BE=OD−DF,即OE=OF.
所以四边形AECF是平行四边形.

(2)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD//BC,
所以∠ADB=∠DBC.
因为BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠DBC,
所以∠ABD=∠ADB,
所以AB=AD,
所以平行四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD,
即AC⊥EF.
由
(1)得四边形AECF是平行四边形，
所以四边形AECF是菱形.

1. 如图 1-1-10，在 $□ ABCD$ 中，$\angle D = 30^{\circ}$，$AC = AD = 3$，点 $E$，$F$ 分别为 $CD$，$AB$ 边上的动点，且 $DE = BF$.现将 $\triangle ADE$ 关于直线 $AE$ 进行轴对称变换，点 $D$ 的对应点记为 $D'$；将 $\triangle CBF$ 关于直线 $CF$ 进行轴对称变换，点 $B$ 的对应点记为 $B'$.当 $DE$ 的长度为$\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$时，以点 $A$，$B'$，$C$，$D'$ 为顶点的四边形是菱形.
]
 

答案： $\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$

2. 如图 1-1-11，点 $A$ 的坐标是 $(0,4)$，点 $B$ 的坐标是 $(8,0)$，$C$ 是 $x$ 轴正半轴上一点，$D$ 是平面内任意一点，若以点 $A$，$B$，$C$，$D$ 为顶点的四边形是菱形，则点 $D$ 的坐标为(5,4)或$(4\sqrt{5},4)$.

答案： (5,4)或$(4\sqrt{5},4)$

3. 如图 1-1-12，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$E$ 是边 $BC$ 延长线上的动点，过点 $E$ 作 $EF\perp BD$ 于 $F$，且与 $CD$，$AD$ 分别交于点 $G$，$H$，连接 $OH$.
(1)若 $AC\perp AB$，$OF = OC$，求证：$FG = CG$；
(2)若在点 $E$ 运动的过程中，存在四边形 $OCGH$ 是菱形的情形，试探究平行四边形 $ABCD$ 的边和角需要满足的条件.
]

答案：

(1)证明:如答图1−1−5,连接OG.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB//CD.
因为AC⊥AB,
所以AC⊥CD,
所以∠OCG=90°.
因为EF⊥BD,
所以∠OFG=90°.
在Rt△OFG和Rt△OCG中,
OG=OG,OF=OC,
所以Rt△OFG≌Rt△OCG(HL),
所以FG=CG.

(2)解:如答图1−1−6,
若四边形OCGH是菱形，
则OH=OC,OH//CG,
OC//GH.
因为EF⊥BD,
所以AC⊥BD,
所以四边形ABCD是菱形，
所以CD=AD,OA=OC,
所以OA=OH,
所以∠OAH=∠OHA,
因为OH//CG,
所以∠OHA=∠ADC,
因为CD=AD,
所以∠CAD=∠DCA,
所以∠CAD=∠ADC=∠DCA,
所以△ACD是等边三角形，
所以∠ADC=60°.
所以平行四边形ABCD的边和角需要满足:CD=AD,∠ADC=60°.