《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 我们把宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形$ABCD$是黄金矩形，边$AB$的长为$\sqrt{5}-1$，则该矩形的周长为$2\sqrt{5}+2$或 4.

答案： 1.$2\sqrt{5}+2$或 4

2. 如图4-4-25，在矩形$ABCD$中，$AD＞AB$，$AD = 4$，$E$是$AD$的黄金分割点$(AE＞DE)$，$G$是$CD$上一点，将$\triangle ABE$沿直线$BE$折叠，使点$A$落在$BC$边上的点$F$处，再将$\triangle DEG$沿直线$EG$折叠，使点$D$落在$EF$上的点$H$处，则$FH$的长为$4\sqrt{5}-8$.

答案： 2.$4\sqrt{5}-8$

3. 如图4-4-26，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 108^{\circ}$，$AB$的垂直平分线与$BC$交于点$D$，交$AB$于点$E$.
(1)请找出图中相似的三角形(不包括全等的三角形)，并证明；
(2)你能在图中找到黄金分割点吗?
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答案： 3. 解：
(1)△ABC∽△DBA.
证明：因为 AB=AC，∠BAC=108°，
所以∠B=∠C=36°.
因为 ED 垂直平分 AB，
所以 BD=AD，
所以∠B=∠BAD=36°.
所以△ABC∽△DBA.
(2)能.由
(1)可知，$AB^2=BD\cdot BC$，
易得 AB=AC=DC，所以$DC^2=BD\cdot BC$，
即$\frac{DC}{BC}=\frac{BD}{DC}$，
所以 D 是 BC 的黄金分割点.

1. 下列条件中，能判定$\triangle ABC$与$\triangle DEF$相似的是(C)。

A.$\angle A=\angle D$，$\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$
B.$\angle A=\angle D$，$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$
C.$\angle A=\angle D=90^{\circ}$，$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$
D.$\angle A=\angle D=90^{\circ}$，$\angle C=55^{\circ}$，$\angle F=25^{\circ}$

答案： C