《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 如图1 - 2 - 21，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点(不与点A，B重合)，CP = CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC = ∠AQP.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)当AP = 3，AD = 9时，求AQ和CQ的长.

答案：
(1)证明：因为$\angle BPQ=\angle BPC+\angle CPQ=\angle A+\angle AQP$，$\angle BPC=\angle AQP$，
所以$\angle CPQ=\angle A$.
因为 $PQ\perp CP$，所以$\angle A=\angle CPQ=90°$，
所以平行四边形 ABCD 是矩形.
(2)解：因为四边形 ABCD 是矩形，
所以$\angle D=\angle CPQ=90°$.
在$Rt\triangle CDQ$和$Rt\triangle CPQ$中，$\begin{cases} CQ=CQ \\ CD=CP \end{cases}$
所以$Rt\triangle CDQ\cong Rt\triangle CPQ(HL)$，
所以 $DQ=PQ$.
设 $AQ=x$，则 $DQ=PQ=9-x$，
在$Rt\triangle APQ$中，$AQ^2+AP^2=PQ^2$，
所以 $x^2+3^2=(9-x)^2$，
解得 $x=4$，
所以 AQ 的长是 4.
设 $CD=AB=CP=y$，则 $PB=y-3$，
在$Rt\triangle PCB$中，根据勾股定理列方程，求出 $y=15$.
在$Rt\triangle CDQ$中，$CQ=\sqrt{5^2+15^2}=5\sqrt{10}$.

2. 如图1 - 2 - 22，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = 6，AC = 8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，求AM的最小值.

答案：
解：如答图 1-2-2，连接 AP.
因为$\angle BAC=90°$，$AB=6$，
$AC=8$，

所以 $BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$.
因为 $PE\perp AB$，$PF\perp AC$，
$\angle BAC=90°$，
所以四边形 AFPE 是矩形.
所以 $EF=AP$，EF 与 AP 互相平分.
因为 M 是 EF 的中点，
所以 M 为 AP 的中点，
所以 $AM=\frac{1}{2}AP$.
因为 $AP\perp BC$时，AP 最短，同样 AM 也最短，
所以当 $AP\perp BC$时，$AP=\frac{AB\cdot AC}{BC}=4.8$，
所以当 AP 最短时，$AP=4.8$，
所以当 AM 最短时，$AM=\frac{1}{2}AP=2.4$，
即 AM 的最小值为 2.4.

3. 如图1 - 2 - 23，四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8，且AC⊥BD. 顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁；再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂……如此进行下去得到四边形AₙBₙCₙDₙ.
(1)证明：四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；
(2)写出四边形A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂的面积；
(3)写出四边形AₙBₙCₙDₙ的面积.

答案：
(1)证明：因为点 $A_1$，$D_1$ 分别是 AB，AD 的中点，
所以 $A_1D_1$ 是$\triangle ABD$的中位线，
所以 $A_1D_1// BD$，$A_1D_1=\frac{1}{2}BD$.
同理 $B_1C_1// BD$，$B_1C_1=\frac{1}{2}BD$.
所以 $A_1D_1// B_1C_1$，$A_1D_1=B_1C_1=\frac{1}{2}BD$，
所以四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 是平行四边形.
因为 $AC\perp BD$，$AC// A_1B_1$，$BD// A_1D_1$，
所以 $A_1B_1\perp A_1D_1$，即$\angle B_1A_1D_1=90°$，
所以平行四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 是矩形.
(2)解：四边形 $A_1B_1C_1D_1$ 的面积为 12，
四边形 $A_2B_2C_2D_2$ 的面积为 6.
(3)解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一个四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形 $A_nB_nC_nD_n$ 的面积为 $\frac{24}{2^n}$.