《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

6. 如图1-1-17，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，过$A$，$C$两点分别作$AD// BC$，$CD// AB$，$AD$，$CD$交于点$D$，延长$DC$至点$E$，使$DC = CE$，连接$BE$.
(1)求证：四边形$ACEB$是菱形；
(2)若$AB = 4$，$BC = 6$，求四边形$ACEB$的面积.
]

答案：

(1)证明:因为AD//BC，CD//AB，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AB=DC.
因为DC=CE,
所以AB=CE.
因为AB//CD，
所以AB//CE,
所以四边形ACEB是平行四边形.
又因为AB=AC,
所以平行四边形ACEB是菱形.
(2)解:如答图1−1−7,连接AE,交BC于点O.因为四边形ACEB是菱形，
　　　　　　　　　　 所以AE⊥BC.
因为AB=4,BC=6,
所以OB=$\frac{1}{2}$BC=3,
所以OA=$\sqrt{AB^2−OB^2}$=$\sqrt{7}$,
所以AE=2OA=2$\sqrt{7}$
所以四边形ACEB的面积S=$\frac{1}{2}$AE·BC=6$\sqrt{7}$

1. 如图1-1-18，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$∠ABC = 60^{\circ}$，点$E$，$F$分别是$BC$，$CD$的中点，$BD$分别与$AE$，$AF$相交于点$M$，$N$，连接$OE$，$OF$.给出下列结论：①$\triangle AEF$是等边三角形；②四边形$CEOF$是菱形；③$OF\perp AE$；④$BM = MN = ND$.其中正确的结论有①②③④.(填序号)
]

答案： ①②③④

2. 在平行四边形$ABCD$中，$∠BAD$的平分线交线段$BC$于点$E$，交线段$DC$的延长线于点$F$，以$EC$，$CF$为邻边作平行四边形$ECFG$.
(1)如图1-1-19①，求证：平行四边形$ECFG$为菱形；
(2)如图1-1-19②，若$∠ABC = 90^{\circ}$，$M$是$EF$的中点，求$∠BDM$的度数.
]

答案：

(1)证明:因为AF平分∠BAD,
所以∠BAF=∠DAF.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD//BC,AB//CD,
所以∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
所以∠CEF=∠CFE,
所以CE=CF.
又因为四边形ECFG是平行四边形，
所以四边形ECFG为菱形.
(2)解:如答图1−1−8,连接BM,MC,
因为∠ABC=90°,
四边形ABCD是平行四边形,
所以∠BCD=90°,
　　　　　　　　　 所以∠ECF=90°.
因为∠BAF=∠DAF
所以∠BAE=∠AEB
所以BE=AB=DC,
由
(1)知EC=CF,
所以△ECF为等腰直角三角形.
又因为M为EF的中点，
所以∠CEM=∠ECM=45°,EM=CM,
所以∠BEM=∠DCM=135°,∠EMC=90°.
在△BME和△DMC中,
$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠BEM=∠DCM, \\ EM=CM, \end{cases}$
所以△BME≌△DMC(SAS),
所以MB=MD,∠DMC=∠BME,
所以∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=∠EMC=90°,
所以△BMD是等腰直角三角形，
所以∠BDM=45°.