《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

3. 对于任意实数 $k$，关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2}x^{2}-(k + 5)x + k^{2}+2k + 25 = 0$ 的根的情况为(B)。

A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判定

答案： B

4. 解方程：
(1) $2x^{2}+3x - 1 = 0$；
(2) $x^{2}-1 = 4x$；
(3) $x^{2}+5 = 4x$；
(4) $(x - 2)(x + 5) = 18$。

答案： $(1)$ 解方程$2x^{2}+3x - 1 = 0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$2x^{2}+3x - 1 = 0$中，$a = 2$，$b = 3$，$c=-1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac = 3^{2}-4×2×(-1)=9 + 8 = 17$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$
所以$x_{1}=\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$。
$(2)$ 解方程$x^{2}-1 = 4x$
解：将方程化为一般形式$x^{2}-4x - 1 = 0$。
这里$a = 1$，$b=-4$，$c = -1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(-1)=16 + 4 = 20$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2×1}=\frac{4\pm2\sqrt{5}}{2}=2\pm\sqrt{5}$
所以$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$。
$(3)$ 解方程$x^{2}+5 = 4x$
解：化为一般形式$x^{2}-4x + 5 = 0$。
其中$a = 1$，$b=-4$，$c = 5$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×5=16 - 20=-4\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
$(4)$ 解方程$(x - 2)(x + 5) = 18$
解：先展开括号得$x^{2}+5x-2x - 10 = 18$，
整理为一般形式$x^{2}+3x - 28 = 0$。
对于$x^{2}+3x - 28 = 0$，$a = 1$，$b = 3$，$c=-28$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4×1×(-28)=9 + 112 = 121$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{121}}{2×1}=\frac{-3\pm11}{2}$。
即$x_{1}=\frac{-3 + 11}{2}=4$，$x_{2}=\frac{-3 - 11}{2}=-7$。
综上，$(1)$ $x_{1}=\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$；$(2)$ $x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$；$(3)$ 无实数根；$(4)$ $x_{1}=4$，$x_{2}=-7$。

5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x + k + 2 = 0$。
(1) 若 $k = - 6$，求此方程的解；
(2) 若该方程无实数根，求 $k$ 的取值范围。

答案：
(1)$x_{1}=1+\sqrt{5}$，$x_{2}=1-\sqrt{5}$.
(2)因为一元二次方程$x^{2}-2x+k+2=0$无解，
所以$\Delta=(-2)^{2}-4(k+2)＜0$，
解得$k＞-1$.

6. 关于 $x$ 的一元二次方程为 $(m - 1)x^{2}-2mx + m + 1 = 0$。
(1) 求出该方程的根；
(2) $m$ 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

答案：
(1)根据题意，得$m\neq1$.
因为$a=m-1$，$b=-2m$，$c=m+1$，
所以$\Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m-1)(m+1)=4$，
则$x_{1}=\frac{2m+2}{2(m-1)}=\frac{m+1}{m-1}$，$x_{2}=1$.
(2)由
(1)知，$x_{1}=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}$.
因为方程的两个根都为正整数，
所以$\frac{2}{m-1}$是正整数，
所以$m-1=1$或$m-1=2$，
解得$m=2$或$m=3$，即$m$为2或3时，此方程的两个根都为正整数.