《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是(B).

A.邻边相等
B.对角线互相平分
C.四个角都是直角
D.对角线相等

答案： B

2. 在正方形 $ABCD$ 中，以 $CD$ 为一边作等边三角形 $CDE$，则$\angle AED$的度数是(C).

A.$15^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$15^{\circ}$或 $75^{\circ}$
D.$25^{\circ}$或 $65^{\circ}$

答案： C

3. 如图 1 - 3 - 1，$E$为正方形 $ABCD$ 对角线 $BD$ 上一点，且 $BE = BC$，则$\angle DCE=$22.5°.
 

答案： 22.5°

4. 正方形的一条对角线的长为 $4$，则这个正方形的面积是8.

答案： 8

5. 如图 1 - 3 - 2，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 2$.若以 $CD$ 边为底边向正方形 $ABCD$ 外作等腰直角三角形 $DCE$，连接 $BE$，则 $BE$ 的长为$\sqrt{10}$.

答案： $\sqrt{10}$

6. 如图 1 - 3 - 3，四边形 $ABCD$ 是正方形，$\triangle EBC$ 是等边三角形.
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle DCE$；
(2)求$\angle AED$的度数.

答案：
(1)证明:因为四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，所以BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，所以∠ABE=∠ECD=30°.
在△ABE和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DC,\\ ∠ABE=∠DCE,\\ BE=CE,\end{array}\right. $所以△ABE≌△DCE(SAS).
(2)解:因为BA=BE，∠ABE=30°，所以∠BAE=$\frac{1}{2}$(180°−30°)=75°.因为∠BAD=90°，所以∠EAD=90°−75°=15°，同理可得∠ADE=15°，所以∠AED=180°−15°−15°=150°.

1. 如图 1 - 3 - 4，边长为$\sqrt{3}$的正方形 $ABCD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30^{\circ}$得到正方形 $AB'C'D'$，两正方形叠成一个“蝶形风筝”(如图所示的阴影部分)，则这个“蝶形风筝”的面积是$\sqrt{3}$.

答案：
$\sqrt{3}$　解析:如答图1−3−1,设CD与C'B'相交于点E,连接AE.
由旋转的性质易知AB'=AD，∠B'=∠D.
又AE=AE,所以△ADE≌△AB'E，所以∠DAE=∠B'AE.
因为旋转角∠BAB'=30°，所以∠B'AD=90°−∠BAB'=60°，所以∠DAE=30°.
在Rt△ADE中，根据勾股定理求得DE=1，$S_{四边形ADEB'}=2×S_{\triangle ADE}=2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$