《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 解方程：
(1) $ x^{2}-\sqrt{3}x-\frac{1}{4}=0 $；
(2) $ x(x - 4)=8 - 2x $。

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}-\sqrt{3}x-\frac{1}{4}=0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}-\sqrt{3}x-\frac{1}{4}=0$中，$a = 1$，$b=-\sqrt{3}$，$c =-\frac{1}{4}$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-\sqrt{3})^{2}-4×1×(-\frac{1}{4})$
$=3 + 1=4$。
再将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-(-\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{\sqrt{3}\pm2}{2}$，
即$x_{1}=\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$。
$(2)$ 解方程$x(x - 4)=8 - 2x$
解：首先将方程进行变形：
$x(x - 4)=8 - 2x$可化为$x(x - 4)+2x - 8 = 0$，
进一步变形为$x(x - 4)+2(x - 4)=0$，
提取公因式$(x - 4)$得$(x - 4)(x + 2)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x - 4 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$。
综上，$(1)$中方程的解为$x_{1}=\frac{\sqrt{3}+2}{2}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$；$(2)$中方程的解为$x_{1}=4$，$x_{2}=-2$。

2. 如图2-3-3，学校课外小组的试验园地的形状是长30m、宽15m的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横、两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392m²，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x m，则根据题意，列方程(B)。

A.$ (30 + 2x)(15 + x)=392 $
B.$ (30 - 2x)(15 - x)=392 $
C.$ (30 + x)(15 + 2x)=392 $
D.$ (30 - x)(15 - 2x)=392 $

答案： 2.B

3. 如图2-3-4，五个完全相同的小矩形拼成大矩形，大矩形的面积是135cm²，则以小矩形的宽为边长的正方形面积是9cm²。

答案： 3.9

4. 如图2-3-5，依靠一面长18m的墙，用34m长的篱笆围成一个矩形花圃，AB边上留有2m宽的小门EF(用其他材料做，不用篱笆围)。

(1)设矩形花圃的边AD的长为x m，用含x的代数式表示边CD的长为 m；

(2)当矩形花圃面积为160m²时，求AD的长。

答案： 4.解:
(1)(36 - 2x) 解析:已设$AD = x\ m$，则$BC = AD = x\ m$，所以$CD = 34 + 2 - 2AD = 34 + 2 - 2x = 36 - 2x(m)$.
(2)依题意得$x(36 - 2x) = 160$，化简得$x^{2} - 18x + 80 = 0$，解得$x_{1} = 8$，$x_{2} = 10$.当$x = 8$时，$36 - 2x = 36 - 2×8 = 20＞18$，不合题意，舍去；当$x = 10$时，$36 - 2x = 36 - 2×10 = 16＜18$，符合题意.
答:AD的长为10m.