《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 一元二次方程 $ x^{2}=4x $ 的根是(C).

A.$ x_{1}=2 $，$ x_{2}=-2 $
B.$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=2 $
C.$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=4 $
D.$ x_{1}=0 $，$ x_{2}=-4 $

答案： C

2. 已知一元二次方程 $ x^{2}-10x + 24 = 0 $ 的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为(C).

A.6
B.10
C.12
D.24

答案： C

3. 解方程：
(1) $ x^{2}-3x + 2 = 0 $；
(2) $ 2x^{2}-3x - 2 = 0 $；
(3) $ x(x + 4)=8x + 12 $；
(4) $ 2(x - 3)^{2}=x^{2}-9 $.

答案： 1. （1）
解：对于方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 2)=0$。
则$x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
2. （2）
解：对于方程$2x^{2}-3x - 2 = 0$，因式分解得$(2x + 1)(x - 2)=0$。
则$2x + 1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=2$。
3. （3）
解：原方程$x(x + 4)=8x + 12$化为$x^{2}+4x - 8x - 12 = 0$，即$x^{2}-4x - 12 = 0$。
因式分解得$(x - 6)(x + 2)=0$。
则$x - 6 = 0$或$x + 2 = 0$，解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$。
4. （4）
解：原方程$2(x - 3)^{2}=x^{2}-9$，将右边因式分解$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$，则方程化为$2(x - 3)^{2}-(x + 3)(x - 3)=0$。
提取公因式$(x - 3)$得$(x - 3)[2(x - 3)-(x + 3)] = 0$，即$(x - 3)(2x - 6 - x - 3)=0$，$(x - 3)(x - 9)=0$。
则$x - 3 = 0$或$x - 9 = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=9$。
综上，（1）的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=2$；（2）的解为$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=2$；（3）的解为$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$；（4）的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=9$。

4. 已知基本事实：“若 $ ab = 0 $，则 $ a = 0 $ 或 $ b = 0 $”.
(1)试利用上述基本事实，解方程：$ 3x^{2}-x = 0 $；
(2)若实数 $ m $，$ n $ 满足 $ m^{4}+n^{4}+2m^{2}n^{2}-4 = 0 $，求 $ m^{2}+n^{2} $ 的值.

答案： 解：
(1)解得$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{1}{3}$.
(2)设$t=m^{2}+n^{2}(t\geqslant0)$，则原方程变为$t^{2}-4=0$，
所以$(t-2)(t+2)=0$，
所以$t-2=0$或$t+2=0$，
所以$t=2$或$t=-2$(舍去)，
即$m^{2}+n^{2}$的值是2.

5. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”. 例如，一元二次方程 $ x^{2}+x = 0 $ 的两个根是 $ x_{1}=0 $，$ x_{2}=-1 $，则方程 $ x^{2}+x = 0 $ 是“邻根方程”.
(1)通过计算，判断下列方程是不是“邻根方程”.
① $ x^{2}-x - 12 = 0 $；
② $ x^{2}-9x + 20 = 0 $.
(2)已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+(m - 1)x - m = 0(m $ 是常数)是“邻根方程”，求 $ m $ 的值.

答案： 解：
(1)①分解因式得$(x-4)(x+3)=0$，
解得$x=4$或$x=-3$.
因为$4\neq-3+1$，
所以$x^{2}-x-12=0$不是“邻根方程”.
②分解因式得$(x-4)(x-5)=0$，
解得$x=4$或$x=5$.
因为$5=4+1$，
所以$x^{2}-9x+20=0$是“邻根方程”.
(2)分解因式得$(x+m)(x-1)=0$，
解得$x=-m$或$x=1$.
因为方程$x^{2}+(m-1)x-m=0$($m$是常数)是“邻根方程”，
所以$-m=1+1$或$-m=1-1$，
所以$m=-2$或$m=0$.