《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

3. 【问题提出】春节期间，七年级一班全班每两名同学都通一次视频电话拜年.若每两名同学之间仅通一次视频电话，如何求全班 $ 50 $ 名同学共通多少次视频电话呢?
【模型构建】用点 $ M_{1} $，$ M_{2} $，$ M_{3} $，$\cdots$，$ M_{50} $ 分别表示第 $ 1 $，$ 2 $，$ 3 $，$\cdots$，$ 50 $ 名同学，把该班人数 $ n $ 与通视频电话次数 $ S $ 之间的关系用如图 2 - 3 所示的模型表示.

【问题解决】
(1) 第 $ 5 $ 个图形中 $ S $ 的值为15；
(2) 通过探索发现，通视频电话次数 $ S $ 与该班级人数 $ n $ 之间的关系式为$S=\frac{n(n-1)}{2}$，则当 $ n = 50 $ 时，对应的 $ S = $1225；
(3) 若该班全体女生相互之间共通视频电话 $ 190 $ 次，求该班共有多少名女生；
【问题拓展】
(4) 若该班数学兴趣小组的同学，每两名同学之间互发一条信息问候，小明统计全组共发送信息 $ 110 $ 条，则该班数学兴趣小组有11人.

答案： 解：
(1)15
(2)$S=\frac{n(n-1)}{2}$ 1225
(3)设该班共有女生 x 名，根据题意，得$\frac{x(x-1)}{2}=190$，解得$x_{1}=20$，$x_{2}=-19$(不符合题意，舍去)。
答：该班共有 20 名女生。
(4)11 解析：设该班数学兴趣小组有 m 人，根据题意，得$m(m-1)=110$，解得$m_{1}=11$，$m_{2}=-10$(不符合题意，舍去)。