《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

2. 如图2-3-8，在△ABC中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q运动到点B后停止移动，点P也随之停止移动。
(1)如果P，Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为8cm²？
(2)点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出移动的时间；若不存在，说明理由。

答案： 2.解:
(1)设$x(0＜x\leqslant 4)s$后，可使$\triangle PCQ$的面积为$8\ cm^{2}$，由题意得，$\frac {1}{2}(6 - x)\cdot 2x = 8$，解得$x = 2$或$x = 4$，所以P，Q同时出发，2s或4s后，可使$\triangle PCQ$的面积为$8\ cm^{2}$.
(2)不存在.理由如下:设移动y s后，$\triangle PCQ$的面积等于$\triangle ABC$的面积的一半.由题意得，$\frac {1}{2}(6 - y)\cdot 2y = \frac {1}{2}×\frac {1}{2}×6×8$，即$y^{2} - 6y + 12 = 0$.因为$\Delta = 36 - 4×12＜0$，所以该方程无实数根，所以不存在.

3. 如图2-3-9，等腰直角三角形ABC的直角边AB = BC = 10cm，点P，Q分别从A，C两点同时出发，均以1cm/s的速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。设点P的运动时间为t（单位：s），△PCQ的面积为S（单位：cm²）。
(1)求出S关于t的函数关系式。
(2)点P运动几秒后，$ S = S_{\triangle ABC} $？
(3)作PE⊥AC于点E，当点P，Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。

答案：
3.解:
(1)当$0＜t\leqslant 10$时，点P在线段AB上，$CQ = t\ cm$，$PB = (10 - t)cm$，所以$S = \frac {1}{2}(10 - t)t = \frac {1}{2}(10t - t^{2})$.当$t＞10$时，P在线段AB的延长线上，$CQ = t\ cm$，$PB = (t - 10)cm$，所以$S = \frac {1}{2}(t - 10)t = \frac {1}{2}(t^{2} - 10t)$.综上，当$0＜t\leqslant 10$时，$S = \frac {1}{2}(10t - t^{2})$；当$t＞10$时，$S = \frac {1}{2}(t^{2} - 10t)$.
(2)因为$S_{\triangle ABC} = \frac {1}{2}AB\cdot BC = 50$，所以当$0＜t\leqslant 10$时，$S = \frac {1}{2}(10t - t^{2}) = 50$，整理得$t^{2} - 10t + 100 = 0$，此方程无解；当$t＞10$时，$S = \frac {1}{2}(t^{2} - 10t) = 50$，整理得$t^{2} - 10t - 100 = 0$，解得$t = 5\pm 5\sqrt {5}$.因为$t＞10$，所以$t = 5 + 5\sqrt {5}$，所以点P运动$(5 + 5\sqrt {5})s$后，$S = S_{\triangle ABC}$.
(3)当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变.证明:如答图2 - 3 - 1，过Q作$QM\perp AC$，交直线AC于点M，连接EQ，PM.易证$\triangle APE\cong \triangle QCM$，所以$AE = PE = CM = QM = \frac {\sqrt {2}}{2}t\ cm$.又易得$EP// QM$，所以四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半.又因为$EM = AC = 10\sqrt {2}\ cm$，所以$DE = 5\sqrt {2}\ cm$.所以当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变.同理，当点P在点B右侧时，$DE = 5\sqrt {2}\ cm$.综上所述，当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变.