《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 如图 4-2-1，已知直线 $ AB // CD // EF $，$ BD = 2 $，$ DF = 4 $，则 $ \frac{AC}{AE} $ 的值为(A).

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{2}{3} $
D.1
 

答案： A

2. 如图 4-2-2，$ AB // CD // EF $，$ AF $ 与 $ BE $ 相交于点 $ G $，$ AG = 2 $，$ GD = 1 $，$ DF = 5 $，则 $ BC:CE = $3:5.

答案： 3:5

3. 如图 4-2-3，$ \triangle ABC $ 中，$ DE // BC $，$ GF // AC $，下列式子错误的是(D).

A.$ \frac{AG}{BG} = \frac{CF}{BF} $
B.$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $
C.$ \frac{GM}{MF} = \frac{AE}{EC} $
D.$ \frac{FC}{DM} = \frac{AG}{DG} $

答案： D

4. 如图 4-2-4，$ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ E $，点 $ F $ 在线段 $ BC $ 上，且 $ AC // EF $.若 $ BE = 5 $，$ BF = 3 $，$ AE = BC $，则 $ AE = $15.
 

答案： 15

5. 如图 4-2-5，在 $ \triangle ABC $ 中，$ DE // BC $，$ DE $ 与 $ AB $ 相交于点 $ D $，与 $ AC $ 相交于点 $ E $，如果 $ AD = 3 $，$ BD = 4 $，$ AE = 2 $，那么 $ AC = $$\frac{14}{3}$.

答案： $\frac{14}{3}$

6. 如图 4-2-6，已知 $ AC // FE // BD $，求证：$ \frac{AE}{AD} + \frac{BE}{BC} = 1 $.

答案： 证明：
∵AC//FE，
∴△BEF∽△BCA（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似），
∴$\frac{BE}{BC} = \frac{BF}{BA}$（相似三角形对应边成比例）。
∵FE//BD，
∴△AEF∽△ADB（同理），
∴$\frac{AE}{AD} = \frac{AF}{AB}$（相似三角形对应边成比例）。
∵点F在AB上，
∴AF + FB = AB，
∴$\frac{AF}{AB} + \frac{FB}{AB} = \frac{AF + FB}{AB} = \frac{AB}{AB} = 1$。
又
∵$\frac{BF}{BA} = \frac{FB}{AB}$，
∴$\frac{AE}{AD} + \frac{BE}{BC} = \frac{AF}{AB} + \frac{FB}{AB} = 1$。
即证得$\frac{AE}{AD} + \frac{BE}{BC} = 1$。