《2025年新课标同步单元练习九年级数学上册北师大版深圳专版》

2. 已知等腰三角形$ABC$的底角为$75^{\circ}$，则下列三角形一定与$\triangle ABC$相似的是(A)。

A.顶角为$30^{\circ}$的等腰三角形
B.顶角为$40^{\circ}$的等腰三角形
C.等边三角形
D.顶角为$75^{\circ}$的等腰三角形

答案： A

3. 如图 4 - 5 - 1，正方形$ABCD$中，点$E$为$AB$的中点，$M$，$N$分别为$AD$，$BC$上的点，若$AM = 3$，$BN = 6$，$\angle MEN = 90^{\circ}$，则$MN$的长为9。
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答案： 9

4. 如图 4 - 5 - 2，在矩形$ABCD$中，$DE\perp AC$于点$E$，$\angle EDC:\angle EDA = 1:2$，且$AC = 8$，则$DE=$$2\sqrt{3}$。
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答案： $2\sqrt{3}$

5. 如图 4 - 5 - 3，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$BC = 4$，若$E$是边$AB$的中点，连接$DE$，过点$C$作$CF\perp DE$于点$F$，则$CF$的长为$\frac{24}{5}$。
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答案： $\frac{24}{5}$

6. 如图 4 - 5 - 4，已知矩形$ABCD$的边长$AB = 3cm$，$BC = 6cm$，某一时刻，动点$M$从点$A$出发沿$AB$边以$1cm/s$的速度向点$B$运动，同时动点$N$从点$D$出发沿$DA$边以$2cm/s$的速度向点$A$运动。设运动时间为$t(0 ＜ t\leqslant 3)s$，以$A$，$M$，$N$为顶点的三角形能与$\triangle ACD$相似吗？若能，求出$t$的值；若不能，说明理由。
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答案： 能.
由已知得$AM=t\ cm$，$NA=(6-2t)\ cm$.
由$\triangle ACD$和$\triangle NAM$相似，得
$\frac{t}{6-2t}=\frac{1}{2}$或$\frac{t}{6-2t}=2$，
解得$t=\frac{3}{2}$或$t=\frac{12}{5}$，
经检验，$t=\frac{3}{2}$或$t=\frac{12}{5}$符合题意，故经过$\frac{3}{2}\ s$或$\frac{12}{5}\ s$时，以$A$，$M$，$N$为顶点的三角形与$\triangle ACD$相似.

1. 如图 4 - 5 - 5，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是边$AB$，$AC$上的点，且$AD = 2$，$BD = 1$，$DE// BC$，则下列说法不正确的是(D)。

A.$AE:EC = 2:1$
B.$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$
C.$DE=\frac{2}{3}BC$
D.$BD:CE = 2:3$
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答案： D